Resolva os seguintes problemas
Por volta do 1^{\circ} de janeiro de 1993, Barbara Streisand assinou um contrato com a Sony Co. de U S \ 2 milhõews de dólares por ano por um período de 10 anos. Suponha que o primeiro pagamento foi efetuado no dia da assinatura do contrato e que tosos os demais pagamentos foram efetuados no primeiro dia de cada ano. Suponha ainda que toso os pagamentos foram depositados numa conta bancária que remuneraõóíá4 %$ por ano, composto anualmente.
i. Quanto dinheiro ela tinha na conta:
A. Na noite de 31 de dezembro de 1999 ?
B. no dia em que o último pagamento foi efetuado?
ii. Qual foi o valor presente do contrato no dia em que o mesmo foi assinado.

Passo 1

O enunciado descreve um fluxo de 10 pagamentos anuais de \$2\,000\,000, sendo o primeiro em 1º de janeiro de 1993 (data zero) e os demais em cada 1º de janeiro até 2002. A conta rende 4\% ao ano, capitalização anual.
  • Para a parte (i) queremos o valor acumulado (futuro) em duas datas distintas: noite de 31/12/1999 e imediatamente após o último depósito (1º/01/2002).
  • Para a parte (ii) queremos o valor presente em 1º/01/1993.
    Este é um problema típico de anuidade antecipada (due), para o qual usamos:
\text{FV no tempo }n:\quad FV = P\sum_{k=0}^{n-1}(1+i)^k
\text{PV no tempo }0:\quad PV = P\cdot\ddot a_{\overline{n}\,\rvert\,i},\quad \ddot a_{\overline{n}\,\rvert\,i}=\frac{1-v^n}{d},\;v=\frac1{1+i},\;d=\frac{i}{1+i}.

Passo 2

(i.A) Na noite de 31/12/1999 ainda não ocorreu o depósito de 1º/01/2000. Então houve 7 depósitos: em 1/01/1993 até 1/01/1999. O mais antigo rendeu juros por 6 anos, o mais recente por 0 ano.
FV_{31/12/1999} =2{,}0\!\times\!\sum_{k=0}^{6}1{,}04^k =2{,}0\;\frac{1{,}04^{7}-1}{1{,}04-1} \quad(\text{milhões de USD})õ
Calculando:
1{,}04^7\approx1{,}315931
\displaystyle FV_{31/12/1999}=2\;\frac{1{,}315931-1}{0{,}04}\approx15{,}79656 milhões
Portanto,
FV_{31/12/1999}\approx\$15{,}796{,}560\,000.

Passo 3

(i.B) No dia de 1º/01/2002 acaba de entrar o 10º depósito e ainda não rendeu juros. São agora 10 depósitos (de 1993 a 2002), com juros de 9 anos para o de 1993 até 0 ano para o de 2002:
FV_{1/01/2002} =2{,}0\!\times\!\sum_{k=0}^{9}1{,}04^k =2{,}0\;\frac{1{,}04^{10}-1}{0{,}04} \quad(\text{milhões de USD})õ
Calculando:
1{,}04^{10}\approx1{,}480244
\displaystyle FV_{1/01/2002}=2\;\frac{1{,}480244-1}{0{,}04}\approx24{,}01212 milhões
Logo,
FV_{1/01/2002}\approx\$24{,}012{,}120\,000.

Passo 4

(ii) Valor presente em 1º/01/1993 de uma anuidade antecipada de n=10, P=2 milhões e i=4\%.
v=\frac1{1{,}04}=0{,}961538,\quad d=\frac{0{,}04}{1{,}04}=0{,}0384615
\ddot a_{\overline{10}\,\rvert\,4\%} =\frac{1-v^{10}}{d} =\frac{1-1{,}04^{-10}}{0{,}0384615} \approx8{,}4359
PV=2{,}0\;\times8{,}4359\approx16{,}8718\text{ milhões}õ
Isto é,
PV\approx\$16{,}871{,}800\,000.

Resposta

A. Na noite de 31/12/1999: \$15{,}796{,}560\,000
B. No dia do último pagamento (1/01/2002): \$24{,}012{,}120\,000
ii. Valor presente em 1/01/1993: \$16{,}871{,}800\,000

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