Resolva os seguintes problemas
Por volta do 1^{\circ} de janeiro de 1993, Barbara Streisand assinou um contrato com a Sony Co. de U S \ 2milhõews de dólares por ano por um período de 10 anos. Suponha que o primeiro pagamento foi efetuado no dia da assinatura do contrato e que tosos os demais pagamentos foram efetuados no primeiro dia de cada ano. Suponha ainda que toso os pagamentos foram depositados numa conta bancária que remunera4 %$ por ano, composto anualmente.
i. Quanto dinheiro ela tinha na conta:
A. Na noite de 31 de dezembro de 1999 ?
B. no dia em que o último pagamento foi efetuado?
ii. Qual foi o valor presente do contrato no dia em que o mesmo foi assinado.
Passo 1
O enunciado descreve um fluxo de 10 pagamentos anuais de \$2\,000\,000, sendo o primeiro em 1º de janeiro de 1993 (data zero) e os demais em cada 1º de janeiro até 2002. A conta rende 4\% ao ano, capitalização anual.
Para a parte (i) queremos o valor acumulado (futuro) em duas datas distintas: noite de 31/12/1999 e imediatamente após o último depósito (1º/01/2002).
Para a parte (ii) queremos o valor presente em 1º/01/1993.
Este é um problema típico de anuidade antecipada (due), para o qual usamos:
\text{FV no tempo }n:\quad FV = P\sum_{k=0}^{n-1}(1+i)^k
\text{PV no tempo }0:\quad PV = P\cdot\ddot a_{\overline{n}\,\rvert\,i},\quad \ddot a_{\overline{n}\,\rvert\,i}=\frac{1-v^n}{d},\;v=\frac1{1+i},\;d=\frac{i}{1+i}.
Passo 2
(i.A) Na noite de 31/12/1999 ainda não ocorreu o depósito de 1º/01/2000. Então houve 7 depósitos: em 1/01/1993 até 1/01/1999. O mais antigo rendeu juros por 6 anos, o mais recente por 0 ano.
FV_{31/12/1999}
=2{,}0\!\times\!\sum_{k=0}^{6}1{,}04^k
=2{,}0\;\frac{1{,}04^{7}-1}{1{,}04-1}
\quad(\text{milhões de USD})õ
Calculando: 1{,}04^7\approx1{,}315931 \displaystyle FV_{31/12/1999}=2\;\frac{1{,}315931-1}{0{,}04}\approx15{,}79656 milhões
Portanto,
FV_{31/12/1999}\approx\$15{,}796{,}560\,000.
Passo 3
(i.B) No dia de 1º/01/2002 acaba de entrar o 10º depósito e ainda não rendeu juros. São agora 10 depósitos (de 1993 a 2002), com juros de 9 anos para o de 1993 até 0 ano para o de 2002:
FV_{1/01/2002}
=2{,}0\!\times\!\sum_{k=0}^{9}1{,}04^k
=2{,}0\;\frac{1{,}04^{10}-1}{0{,}04}
\quad(\text{milhões de USD})õ
Calculando: 1{,}04^{10}\approx1{,}480244 \displaystyle FV_{1/01/2002}=2\;\frac{1{,}480244-1}{0{,}04}\approx24{,}01212 milhões
Logo,
FV_{1/01/2002}\approx\$24{,}012{,}120\,000.
Passo 4
(ii) Valor presente em 1º/01/1993 de uma anuidade antecipada de n=10, P=2 milhões e i=4\%.
A. Na noite de 31/12/1999: \$15{,}796{,}560\,000
B. No dia do último pagamento (1/01/2002): \$24{,}012{,}120\,000
ii. Valor presente em 1/01/1993: \$16{,}871{,}800\,000