Expresse \frac{d y}{d x} em termos de x e y, onde y=f(x) é uma função derivável dada implicitamente pela equação:
x e^{y}+x y=3

Passo 1

O enunciado nos dá uma função y=f(x) definida implicitamente por
x e^{y} + x y = 3
e pede para expressar \frac{dy}{dx} em termos de x e y.
O conteúdo principal aqui é diferenciação implícita, usando a regra do produto e a regra da cadeia.

Passo 2

Aplicamos \frac{d}{dx} em ambos os lados de
x e^{y} + x y = 3
– para x e^{y} usamos produto u=x, v=e^{y} e cadeia em e^{y};
– para x y usamos produto u=x, v=y.

Passo 3

Derivando termo a termo:
\frac{d}{dx}[x e^{y}] = 1\cdot e^{y} + x\cdot e^{y}\frac{dy}{dx},
\frac{d}{dx}[x y] = 1\cdot y + x\cdot \frac{dy}{dx},
e o lado direito vira 0. Logo,
e^{y} + x e^{y}\frac{dy}{dx} + y + x\frac{dy}{dx} = 0.

Passo 4

Agrupamos os termos que contêm \frac{dy}{dx}:
\Bigl(x e^{y} + x\Bigr)\frac{dy}{dx} + \bigl(e^{y} + y\bigr) = 0.

Passo 5

Isolando \frac{dy}{dx}:
\Bigl(x(e^{y}+1)\Bigr)\frac{dy}{dx} = -\bigl(e^{y}+y\bigr) \quad\Longrightarrow\quad \frac{dy}{dx} = -\frac{e^{y} + y}{x\,(e^{y} + 1)}.

Resposta

\frac{dy}{dx} = -\frac{e^{y} + y}{x\,(e^{y} + 1)}.

Exercícios relacionados