Para cada equação determine \frac{d y}{d x}.
x=\operatorname{tg} y

Passo 1

O enunciado dá a relação
x = \tan(y)
e pede \displaystyle \frac{dy}{dx}. Vamos usar diferenciação implícita e a regra de derivada de \tan.

Passo 2

Derivando ambos os lados em relação a x:
o lado esquerdo é
\frac{d}{dx}(x)=1,
e o direito, pela regra da cadeia, é
\frac{d}{dx}\bigl(\tan(y)\bigr) =\operatorname{sec}^2(y)\,\frac{dy}{dx}.
Logo,
1 = \operatorname{sec}^2(y)\,\frac{dy}{dx}.

Passo 3

Isolando \displaystyle \frac{dy}{dx}, obtemos
\frac{dy}{dx} =\frac{1}{\operatorname{sec}^2(y)} =\cos^2(y).

Passo 4

Usando que \tan(y)=x implica \operatorname{sec}^2(y)=1+\tan^2(y)=1+x^2, vem
\cos^2(y) =\frac{1}{\operatorname{sec}^2(y)} =\frac{1}{1+x^2}.

Resposta

\frac{dy}{dx} = \cos^2(y) = \frac{1}{1+x^2}.

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