Expresse \frac{d y}{d x} em termos de x e y, onde y=f(x) é uma função derivável dada implicitamente pela equação:
2 y+\operatorname{sen} y=x

Passo 1

O enunciado nos dá uma função y=f(x) definida implicitamente pela equação
2y + \sin y = x
e pede \dfrac{dy}{dx} em termos de x e y. O conteúdo é diferenciação implícita, usando a regra da cadeia.

Passo 2

Diferenciamos ambos os lados em relação a x. Para o termo 2y temos
\frac{d}{dx}(2y)=2\frac{dy}{dx},
e para \sin y aplicamos a cadeia:
\frac{d}{dx}(\sin y)=\cos y\;\frac{dy}{dx}.
No lado direito, \dfrac{d}{dx}(x)=1.

Passo 3

Somando as derivadas do lado esquerdo e igualando a 1, obtemos
2\frac{dy}{dx} + \cos y\;\frac{dy}{dx} = 1.

Passo 4

Fatorando \dfrac{dy}{dx}, resulta
\bigl(2 + \cos y\bigr)\frac{dy}{dx} = 1
e, isolando \dfrac{dy}{dx}, concluímos

Resposta

\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2 + \cos y}.

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