Expresse \frac{d y}{d x} em termos de x e y, onde y=f(x) é uma função derivável, dada implicitamente pela equação abaixo.
x^{2}+y^{3}+x y=2

Passo 1

O enunciado dá a equação implícita
x^{2}+y^{3}+x\,y=2
onde y=f(x) é diferenciável, e pede \frac{dy}{dx}. Para isso vamos aplicar derivação implícita, usando regra da soma, regra da potência (com cadeia) e regra do produto, e depois isolar \frac{dy}{dx}.

Passo 2

Derivando cada termo em relação a x:
\frac{d}{dx}(x^2)=2x,
\frac{d}{dx}(y^3)=3y^2\,\frac{dy}{dx},
\frac{d}{dx}(x\,y)=\frac{d}{dx}(x)\cdot y + x\cdot\frac{d}{dx}(y)=y + x\,\frac{dy}{dx}.
Como o lado direito 2 é constante, sua derivada é zero. Logo ao derivar toda a equação obtemos
2x + 3y^2\,\frac{dy}{dx} + y + x\,\frac{dy}{dx} = 0.

Passo 3

Agrupando os termos que contêm \frac{dy}{dx}:
3y^2\,\frac{dy}{dx} + x\,\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{dx}\,(3y^2 + x),
e os termos livres são 2x + y. Assim a equação fica
2x + y + \frac{dy}{dx}\,(3y^2 + x)=0
ou seja
\frac{dy}{dx}\,(3y^2 + x) = -(2x + y).

Passo 4

Isolando \frac{dy}{dx}, temos
\frac{dy}{dx} = -\frac{2x + y}{3y^2 + x}.

Resposta

\frac{dy}{dx} = -\frac{2x + y}{3y^2 + x}.

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