Expresse \frac{d y}{d x} em termos de x e y, onde y=f(x) é uma função derivável, dada implicitamente pela equação abaixo.
x^{2}+y^{2}=1

Passo 1

O enunciado dá a curva implícita
x^{2}+y^{2}=1
onde y=f(x) é diferenciável, e pede \frac{dy}{dx} em função de x e y. O conteúdo aqui é diferenciação implícita e uso da regra da cadeia.

Passo 2

Vamos derivar ambos os lados de
x^{2}+y^{2}=1
em relação a x. Usando a derivada de x^{2} e, na derivada de y^{2}, aplicando a regra da cadeia \frac{d}{dx}y^{2}=2y\cdot\frac{dy}{dx}, obtemos
\frac{d}{dx}(x^{2})+\frac{d}{dx}(y^{2})=\frac{d}{dx}(1)
2x + 2y\,\frac{dy}{dx} = 0.

Passo 3

Isolando \frac{dy}{dx} na equação
2y\,\frac{dy}{dx} = -2x
dividimos por 2y, obtendo
\frac{dy}{dx} = -\frac{2x}{2y} = -\frac{x}{y}.

Resposta

\frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y}.

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