Expresse \frac{d y}{d x} em termos de x e y, onde y=f(x) é uma função derivável, dada implicitamente pela equação abaixo.
y^{3}+\operatorname{sen}(x y)=2

Passo 1

O enunciado dá a relação implícita
y^{3} + \operatorname{sen}(x y) = 2
e pede \frac{d y}{d x} em termos de x e y. Vamos usar diferenciação implícita e a regra da cadeia.

Passo 2

Diferenciando ambos os lados em relação a x, temos
\frac{d}{d x}\bigl(y^{3}\bigr) + \frac{d}{d x}\bigl(\operatorname{sen}(x y)\bigr) = \frac{d}{d x}(2).

Passo 3

Aplicando a regra da cadeia:
\frac{d}{d x}\bigl(y^{3}\bigr)=3y^{2}\,\frac{d y}{d x}, \quad \frac{d}{d x}\bigl(\operatorname{sen}(x y)\bigr) =\cos(xy)\,\frac{d}{d x}(x y) =\cos(xy)\bigl(y + x\,\tfrac{d y}{d x}\bigr).
Logo a equação diferenciada é
3y^{2}\,\frac{d y}{d x} + \cos(xy)\bigl(y + x\,\tfrac{d y}{d x}\bigr) =0.

Passo 4

Distribuindo e agrupando os termos com \tfrac{dy}{dx}:
3y^{2}\,\frac{d y}{d x} + x\cos(xy)\,\frac{d y}{d x} + y\cos(xy) =0 \;\;\Longrightarrow\;\; \bigl(3y^{2} + x\cos(xy)\bigr)\frac{d y}{d x} + y\cos(xy)=0.

Passo 5

Isolando \frac{d y}{d x}:
\bigl(3y^{2} + x\cos(xy)\bigr)\frac{d y}{d x} = -\,y\cos(xy) \;\;\Longrightarrow\;\; \frac{d y}{d x} = -\,\frac{y\cos(xy)}{3y^{2} + x\cos(xy)}.

Resposta

\frac{d y}{d x} = -\,\frac{y\cos(xy)}{3y^{2} + x\cos(xy)}.

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