Expresse a função como a soma de uma série de potências usando frações parciais. Encontre o intervalo de convergência.
x = (3 x - 2) / (2 x^2 - 3 x + 1)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para expressar a função como a soma de uma série de potências usando frações parciais e encontrar o intervalo de convergência. Para isso, vamos precisar usar frações parciais e séries geométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos fatorar o denominador . Para isso, procuramos dois números que multiplicados dão e somados dão .

Passo 3

Agora que temos os fatores, vamos decompor a fração em frações parciais:

Passo 4

Multiplicamos ambos os lados por para eliminar os denominadores:

Passo 5

Agora, vamos encontrar os valores de e . Escolhemos valores de que simplificam a equação.
  • Para :
  • Para :

Passo 6

Com e , a decomposição fica:

Passo 7

Vamos reescrever cada termo para facilitar a expressão em série de potências.

Passo 8

Sabemos que a série geométrica para . Aplicando isso:

Passo 9

Juntando as duas séries:

Passo 10

Agora, determinamos o intervalo de convergência. As séries geométricas convergem quando e .
  • De :
  • De :
Como , o intervalo de convergência será .

Resposta

A função pode ser expressa como:
E o intervalo de convergência é .

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