Hallar las derivadas parciales de: f(x, y) = x^y + y^x

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que precisa ser feito aqui! Temos a função e queremos encontrar as derivadas parciais dela em relação a e a . Para resolver isso, vamos usar os conceitos de derivadas parciais e como derivar funções onde as variáveis aparecem tanto na base quanto no expoente.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de em relação a , ou seja, . Isso significa que vamos ver como a função muda quando a gente altera só o , mantendo o fixo.

Passo 3

Vamos começar derivando o primeiro termo, , em relação a . Quando temos uma variável no expoente, usamos uma dica matemática importante: pode ser reescrito usando a função exponencial e o logaritmo natural assim:
Agora, para derivar em relação a , usamos a regra da cadeia. A derivada de em relação a é vezes a derivada de em relação a . Aqui, .
Então:
Como é tratado como uma constante quando derivamos em relação a , a derivada de em relação a é:
Portanto:

Passo 4

Agora vamos derivar o segundo termo, , em relação a . Novamente, usamos a mesma ideia de reescrever a expressão:
Derivando em relação a usando a regra da cadeia:
Aqui, é uma constante em relação a , então:
Assim:

Passo 5

Agora, juntando as derivadas dos dois termos, temos a derivada parcial de em relação a :

Passo 6

Agora vamos calcular a derivada parcial de em relação a , ou seja, . Isso significa que vamos ver como a função muda quando alteramos só o , mantendo o fixo.

Passo 7

Primeiro, derivamos o termo em relação a . Usando a expressão reescrita:
A derivada de em relação a é:
Como é uma constante em relação a :
Então:

Passo 8

Agora, derivamos o termo em relação a . Aqui, é tratado como uma constante. A derivada de em relação a é conhecida e é dada por:

Passo 9

Finalmente, somamos as derivadas dos dois termos para obter a derivada parcial de em relação a :

Resposta

As derivadas parciais da função são:

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