Expresse as funçōes racionais como fraçōes parciais
Passo 1
O enunciado nos dá a função racional
e pede que a expressemos em frações parciais.
Informações relevantes fornecidas:
Informações relevantes fornecidas:
- O denominador já está fatorado em
. - É necessário encontrar constantes/numeradores que representem a decomposição em frações parciais.
Passo 2
Escrevemos a forma geral da decomposição em frações parciais. Regra prática:
- Para cada fator linear distinto
usamos uma constante no numerador: . - Para um fator quadrático irreducível
usamos um numerador linear .
Portanto assumimos
onde
são constantes que vamos determinar.
Passo 3
Multiplicamos ambos os lados por
para obter uma identidade polinomial válida para todo
:
Observação útil:
, então podemos reescrever o último termo como
. Essa identidade vale para todo
, então podemos escolher valores de
convenientes para achar as constantes.
Passo 4
Escolhemos
(raiz do fator
) para simplificar:
Calculando:
Passo 5
Escolhemos
(raiz do fator
):
Calculando:
Passo 6
Agora usamos um valor simples,
, para relacionar
(já conhecendo
e
):
Substituindo
e
:
Isso é
Logo
Passo 7
Falta
. Podemos usar um valor qualquer, por exemplo
. A identidade é
Substituindo
,
,
:
Calcule os termos:
portanto a soma dos dois primeiros termos é
A identidade fica
Isolando:
Dividindo por
:
Passo 8
Reunindo os valores encontrados:
Esses valores completam a decomposição em frações parciais pedida.