Expresse as funçōes racionais como fraçōes parciais
\frac{1}{x^{4}-1}=\frac{1}{(x-1)(x+1)\left(x^{2}+1\right)}

Passo 1

O enunciado nos dá a função racional
\frac{1}{x^{4}-1}=\frac{1}{(x-1)(x+1)\left(x^{2}+1\right)}
e pede que a expressemos em frações parciais.
Informações relevantes fornecidas:
  • O denominador já está fatorado em (x-1)(x+1)(x^{2}+1).
  • É necessário encontrar constantes/numeradores que representem a decomposição em frações parciais.

Passo 2

Escrevemos a forma geral da decomposição em frações parciais. Regra prática:
  • Para cada fator linear distinto (x-a) usamos uma constante A no numerador: \dfrac{A}{x-a}.
  • Para um fator quadrático irreducível (x^{2}+1) usamos um numerador linear Cx+D.
Portanto assumimos
\frac{1}{(x-1)(x+1)(x^{2}+1)}=\frac{A}{x-1}+\frac{B}{x+1}+\frac{Cx+D}{x^{2}+1},
onde A,B,C,D são constantes que vamos determinar.

Passo 3

Multiplicamos ambos os lados por (x-1)(x+1)(x^{2}+1) para obter uma identidade polinomial válida para todo x:
1 = A(x+1)(x^{2}+1) + B(x-1)(x^{2}+1) + (Cx+D)(x-1)(x+1).
Observação útil: (x-1)(x+1)=x^{2}-1, então podemos reescrever o último termo como (Cx+D)(x^{2}-1). Essa identidade vale para todo x, então podemos escolher valores de x convenientes para achar as constantes.

Passo 4

Escolhemos x=1 (raiz do fator x-1) para simplificar:
1 = A(1+1)(1^{2}+1) + B\cdot0 + (C\cdot1+D)\cdot0.
Calculando:
1 = A\cdot 2 \cdot 2 = 4A \quad\Rightarrow\quad A=\frac{1}{4}.

Passo 5

Escolhemos x=-1 (raiz do fator x+1):
1 = A\cdot0 + B(-1-1)((-1)^{2}+1) + (C(-1)+D)\cdot0.
Calculando:
1 = B\cdot (-2)\cdot 2 = -4B \quad\Rightarrow\quad B=-\frac{1}{4}.

Passo 6

Agora usamos um valor simples, x=0, para relacionar D (já conhecendo A e B):
1 = A(0+1)(0^{2}+1) + B(0-1)(0^{2}+1) + (C\cdot0 + D)(0^{2}-1).
Substituindo A=\dfrac{1}{4} e B=-\dfrac{1}{4}:
1 = \frac{1}{4} -\left(-\frac{1}{4}\right) + D\cdot(-1).
Isso é
1 = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} - D = \frac{1}{2} - D.
Logo
-D = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}\quad\Rightarrow\quad D=-\frac{1}{2}.

Passo 7

Falta C. Podemos usar um valor qualquer, por exemplo x=2. A identidade é
1 = A(2+1)(2^{2}+1) + B(2-1)(2^{2}+1) + (2C+D)(2^{2}-1).
Substituindo A=\dfrac{1}{4}, B=-\dfrac{1}{4}, D=-\dfrac{1}{2}:
1 = \frac{1}{4}\cdot 3\cdot 5 + \left(-\frac{1}{4}\right)\cdot 1\cdot 5 + (2C -\tfrac{1}{2})\cdot 3.
Calcule os termos:
\frac{1}{4}\cdot 15 = \frac{15}{4},\qquad -\frac{1}{4}\cdot 5 = -\frac{5}{4},
portanto a soma dos dois primeiros termos é
\frac{15}{4}-\frac{5}{4}=\frac{10}{4}=\frac{5}{2}.
A identidade fica
1 = \frac{5}{2} + 3\left(2C-\frac{1}{2}\right).
Isolando:
3\left(2C-\frac{1}{2}\right) = 1 - \frac{5}{2} = -\frac{3}{2}.
Dividindo por 3:
2C-\frac{1}{2} = -\frac{1}{2} \quad\Rightarrow\quad 2C=0 \quad\Rightarrow\quad C=0.

Passo 8

Reunindo os valores encontrados:
A=\frac{1}{4},\qquad B=-\frac{1}{4},\qquad C=0,\qquad D=-\frac{1}{2}.
Esses valores completam a decomposição em frações parciais pedida.

Resposta

\frac{1}{x^{4}-1}=\frac{1}{4}\,\frac{1}{x-1}-\frac{1}{4}\,\frac{1}{x+1}-\frac{1}{2}\,\frac{1}{x^{2}+1}

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