Questão 2: Medidas instrumentos digitais - Na prática de uso de instrumentos digitais, foram encontrados os seguintes valores para a resistência dos dois resistores: R_{1}=(298) \Omega e R_{2}=(508) \Omega. O fundo de escala utilizado foi o mais apropriado para os valores medidos. Calcule a incerteza dos valores de R_{1} e R_{2} e expresse o resultado corretamente. Calcule a resistência equivalente da associação em série destes resistores e sua incerteza. R_{e q}=R_{1}+ R_{2}.
Table 1: D. Resistência
\captionsetup{labelformat=empty}
Faixa Precisão Resolução
200 \Omega \pm(1.0 \%+5 \mathrm{D}) 100 \mathrm{~m} \Omega
2000 \Omega \pm(0.8 \%+5 \mathrm{D}) 1 \Omega
20 \mathrm{k} \Omega 10 \Omega
200 \mathrm{k} \Omega 100 \Omega
2000 \mathrm{k} \Omega

Passo 1

O enunciado pede: calcular a incerteza dos valores medidos de R_{1} e R_{2} e depois calcular a resistência equivalente da associação em série R_{eq}=R_{1}+R_{2} e sua incerteza. Dados fornecidos:
  • Valores medidos (do enunciado): R_{1}=(298)\\ \Omega e R_{2}=(508)\\ \Omega.
  • Foi informado que o fundo de escala utilizado foi o mais apropriado para os valores medidos.
  • Da tabela (peguei estes dados na tabela fornecida): para a faixa \,2000\\ \Omega\, a precisão é \pm(0,8\%+5\\ \mathrm{D}) e a resolução é 1\\ \Omega.
    Observação: como 298\\ \Omega>200\\ \Omega e 508\\ \Omega>200\\ \Omega, o fundo de escala adequado é a faixa 2000\\ \Omega; por isso vou usar a especificação \pm(0,8\%+5\\ \mathrm{D}) com resolução 1\\ \Omega.

Passo 2

Entender a fórmula da incerteza indicada pelo instrumento. A especificação \pm(0,8\%+5\\ \mathrm{D}) significa que o erro máximo absoluto (em valor absoluto) é a soma de duas parcelas:
\text{erro máximo} = 0{,}8\%\times\text{valor lido} + 5\times(\text{resolução}).áçã
Aqui a resolução da faixa 2000\\ \Omega é 1\\ \Omega, então 5\\ \mathrm{D}=5\times 1\\ \Omega = 5\\ \Omega. A primeira parcela (0{,}8\%\times\text{valor}) é um erro proporcional ao valor lido; a segunda parcela é um erro devido aos dígitos (última casa) do instrumento. Vou calcular o erro máximo absoluto para cada resistência.

Passo 3

Calcular o erro máximo absoluto para R_{1}.
\text{erro}_{1}=0{,}008\cdot 298 + 5\cdot 1.
Calculemos:
0{,}008\cdot 298 = 2{,}384\\ \Omega, \qquad 5\cdot 1 = 5{,}0\\ \Omega,
\text{erro}_{1}=2{,}384 + 5{,}0 = 7{,}384\\ \Omega.

Passo 4

Calcular o erro máximo absoluto para R_{2}.
\text{erro}_{2}=0{,}008\cdot 508 + 5\cdot 1.
Calculemos:
0{,}008\cdot 508 = 4{,}064\\ \Omega, \qquad 5\cdot 1 = 5{,}0\\ \Omega,
\text{erro}_{2}=4{,}064 + 5{,}0 = 9{,}064\\ \Omega.

Passo 5

Como expressar corretamente os resultados com incerteza: regra prática usual é arredondar a incerteza a uma ou duas cifras significativas (costuma-se usar 1 cifra significativa) e então arredondar o valor medido à mesma casa decimal da incerteza. Aqui as incertezas calculadas são \text{erro}_{1}=7{,}384\\ \Omega e \text{erro}_{2}=9{,}064\\ \Omega. Arredondando cada incerteza para 1 algarismo significativo:
\text{erro}_{1}\approx 7\\ \Omega,\qquad \text{erro}_{2}\approx 9\\ \Omega.
Portanto os resultados individuais ficam:
R_{1}=298\\ \Omega \pm 7\\ \Omega, \qquad R_{2}=508\\ \Omega \pm 9\\ \Omega.

Passo 6

Agora calcular R_{eq}=R_{1}+R_{2}. Soma simples dos valores:
R_{eq}=298 + 508 = 806\\ \Omega.

Passo 7

Calcular a incerteza da soma. Quando se somam duas grandezas independentes cujas incertezas são limites máximos, a forma conservadora e usual é combinar as incertezas em quadratura (soma pelos quadrados) para obter a incerteza total por propagação:
\text{erro}_{eq}=\sqrt{(\text{erro}_{1})^{2}+(\text{erro}_{2})^{2}}.
Usando os valores não arredondados para maior precisão numérica (recomenda-se preservar casas durante o cálculo):
\text{erro}_{eq}=\sqrt{(7{,}384)^{2} + (9{,}064)^{2}} =\sqrt{54{,}533 + 82{,}157} =\sqrt{136{,}690} \approx 11{,}69\\ \Omega.
Arredondando a incerteza final a 1 algarismo significativo:
\text{erro}_{eq}\approx 12\\ \Omega.
Arredonde também R_{eq} à mesma ordem (unidades de \Omega): R_{eq}=806\\ \Omega.

Passo 8

Escrevendo os resultados finais (valores com suas incertezas, com a convenção de incerteza em valor absoluto):
R_{1}=298\\ \Omega \pm 7\\ \Omega, \qquad R_{2}=508\\ \Omega \pm 9\\ \Omega,
R_{eq}=806\\ \Omega \pm 12\\ \Omega.

Resposta

R_{1}=298\\ \Omega \pm 7\\ \Omega
R_{2}=508\\ \Omega \pm 9\\ \Omega
R_{eq}=806\\ \Omega \pm 12\\ \Omega

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