Expresse a integral dupla sobre a região R indicada, como uma integral iterada, e ache seu valor.
integral duplaR x y^2 d A; na região triangular de vértices (0,0),(3,1),(-2,1).

Passo 1

Vamos resolver uma integral dupla sobre uma região triangular com vértices em , e . A integral que queremos calcular é . Para isso, vamos precisar entender como configurar a integral dupla como uma integral iterada, ou seja, integrando primeiro em relação a uma variável e depois em relação à outra. Vamos seguir passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a região triangular . Os vértices são , e . Isso forma um triângulo com a base no eixo e o vértice na origem .

Passo 3

Para configurar a integral dupla como uma iterada, precisamos determinar os limites de integração para e . Observando a região, percebemos que varia de 0 a 1. Para cada valor de entre 0 e 1, varia de uma linha à esquerda até uma linha à direita.

Passo 4

Vamos encontrar as equações das linhas que formam os lados do triângulo. A linha que vai de a tem inclinação , então a equação é . A linha que vai de a tem inclinação , então a equação é .

Passo 5

Resolvendo essas equações para , temos:
  • Para :
  • Para :

Passo 6

Agora, podemos expressar a integral dupla como uma integral iterada. Para cada integral0^1 integral-2y^3y x y^2 , dx , dy entre 0 e 1, varia de a . Assim, a integral iterada fica:

Passo 7

Vamos calcular a integral interna em relação a integral-2y^3y x y^2 , dx :
y^2 integral-2y^3y x , dx = y^2 [ 12x^2 ]-2y^3y = y^2 ( 12(9y^2) - 12(4y^2) ) = y^2 ( 9y^2 - 4y^22 ) = y^2 ( 5y^22 ) = 52 y^4
Aqui, é uma constante em relação a , então podemos integrá-lo:

Passo 8

Agora, substituímos o resultado da integral interna na integral externa:
integral0^1 52 y^4 , dy = 52 integral0^1 y^4 , dy = 52 [ 15 y^5 ]0^1 = 52 ( 15 - 0 ) = 52 times 15 = 12

Resposta

O valor da integral dupla sobre a região triangular é .

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