Esboce a região R delimitada pelos gráficos das equações dadas. Se f(x, y) é uma função contínua arbitrária, expresse integral duplaR f(x, y) d A como uma integral iterada com d x d y e com d y d x.
y=x^3, x=2, y=0

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. A gente precisa esboçar a região delimitada pelas curvas , e . Depois, com uma função contínua qualquer , a gente tem que escrever a integral dupla sobre essa região como uma integral iterada nas duas ordens possíveis: primeiro e depois . Para fazer isso, vamos precisar entender um pouco sobre integrais duplas e como elas se transformam em integrais iteradas.

Passo 2

Primeiro, vamos esboçar a região . As curvas dadas são:
  1. — uma curva cúbica que passa pela origem.
  2. — uma linha vertical.
  3. — o eixo .
Quando , substituindo na primeira equação, . Então, a região está entre e , debaixo da curva e acima do eixo .

Passo 3

Agora que temos a região desenhada, vamos pensar em como configurar a integral dupla. Uma integral dupla pode ser escrita como uma integral iterada em duas ordens: ou .
Para isso, precisamos determinar os limites de integração para cada ordem.

Passo 4

Primeiro, vamos configurar a integral como integral duplaR f(x, y) , dA = integralx=0^2 ( integraly=0^x^3 f(x, y) , dy ) dx . Isso significa que para cada valor de , varia de um limite inferior a um limite superior.
  • Para : vai de a (já que é o limite direito).
  • Para : para cada , varia de (o eixo ) até .
Então, a integral iterada fica:

Passo 5

Agora, vamos configurar a integral como integral duplaR f(x, y) , dA = integraly=0^8 ( integralx=raiz[3]y^2 f(x, y) , dx ) dy . Desta vez, para cada valor de , varia de um limite inferior a um limite superior.
Primeiro, precisamos encontrar os limites de . A curva varia de quando até quando .
Para cada , queremos expressar em termos de . A equação .
Então:
  • Para : vai de a .
  • Para : para cada , varia de até .
Assim, a integral iterada fica:

Resposta

A integral dupla sobre a região integral duplaR f(x, y) , dA = integral0^2 ( integral0^x^3 f(x, y) , dy ) dx pode ser expressa como:
integral duplaR f(x, y) , dA = integral0^8 ( integralraiz[3]y^2 f(x, y) , dx ) dy
e também como:

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