Expresse a integral \int_{0}^{2} \int_{0}^{\sqrt{4-x^{2}}} \int_{0}^{6} \sqrt{x^{2}+y^{2}} d z d y d x como uma integral tripla iterada em coordenadas cilíndricas, e calcule a integral obtida.

Passo 1

O enunciado pede para reescrever
\int_{0}^{2}\int_{0}^{\sqrt{4-x^{2}}}\int_{0}^{6}\sqrt{x^{2}+y^{2}}\;dz\,dy\,dx
em coordenadas cilíndricas e, em seguida, calcular o valor numérico. Vamos usar o mapeamento
\;(x,y,z)=(r\cos\theta,r\sin\theta,z), cuja Jacobiana é r, pois a região no plano xy é um quarto de disco de raio 2 no primeiro quadrante.

Passo 2

Identificamos os limites em cilíndricas:
r varia de 0 até 2 (raio do disco);
\theta varia de 0 até \tfrac{\pi}{2} (primeiro quadrante);
z varia de 0 até 6 (mesmo que no enunciado).
Além disso,
\sqrt{x^{2}+y^{2}}=r
e a Jacobiana é r.

Passo 3

Substituindo na integral, o integrando fica r\cdot r = r^{2}. Logo, em cilíndricas temos
\int_{\theta=0}^{\frac{\pi}{2}} \int_{r=0}^{2} \int_{z=0}^{6} r^{2}\;dz\,dr\,d\theta.

Passo 4

Vamos calcular em etapas:
\int_{z=0}^{6}r^{2}\;dz =6\,r^{2},
\int_{r=0}^{2}6\,r^{2}\;dr =6\int_{0}^{2}r^{2}\;dr =6\left[\frac{r^{3}}{3}\right]_{0}^{2} =6\cdot\frac{8}{3} =16,
\int_{\theta=0}^{\frac{\pi}{2}}16\;d\theta =16\cdot\frac{\pi}{2} =8\pi.

Resposta

A integral em coordenadas cilíndricas é
\int_{\theta=0}^{\frac{\pi}{2}} \int_{r=0}^{2} \int_{z=0}^{6} r^{2}\;dz\,dr\,d\theta,
e o seu valor é 8\pi.

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