Expresse a integral
como uma integral tripla iterada em coordenadas cilíndricas, e calcule a integral obtida.
Passo 1
O enunciado pede para reescrever
em coordenadas cilíndricas e, em seguida, calcular o valor numérico. Vamos usar o mapeamento
, cuja Jacobiana é
, pois a região no plano
é um quarto de disco de raio
no primeiro quadrante.
Passo 2
Identificamos os limites em cilíndricas:
— varia de
até
(raio do disco);
— varia de
até
(primeiro quadrante);
— varia de
até
(mesmo que no enunciado).
Além disso,
—
—
—
Além disso,
e a Jacobiana é
.
Passo 3
Substituindo na integral, o integrando fica
. Logo, em cilíndricas temos
Passo 4
Vamos calcular em etapas:
Resposta
A integral em coordenadas cilíndricas é
e o seu valor é
.