Expresse a integral 
  como uma integral iterada de seis modos diferentes, onde 
  é o sólido limitado pelas superfícies dadas. 
 
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente transformar a integral tripla 
  em uma integral iterada de seis modos diferentes. Aqui, o sólido 
  é limitado por 
 , 
  e 
 . Vamos precisar entender como esses limites definem a região 
  e depois configurar as integrais de acordo com diferentes ordens de integração.
Passo 2
Primeiro, vamos entender quais são os limites de cada variável. Temos três variáveis: 
 , 
  e 
 . As superfícies que delimitam nosso sólido são:
- 
: Isso sugere que depende de .  - 
: Esse é o plano inferior do sólido.  - 
: Podemos rearranjar para , que será o limite superior para .  
Passo 3
Vamos determinar os limites para cada variável:
- Para 
: Está entre e .  - Para 
: Visto que e quando , temos , então varia de até .  - Para 
: Para encontrar os limites de , observamos que , então varia de a .  
Passo 4
Agora, vamos configurar as integrais iteradas em diferentes ordens. Lembrando que a ordem das integrações pode ser 
 , 
 , 
 , 
 , 
 , ou 
 . Vamos fazer cada uma delas:
Passo 5
1. Ordem: 
Aqui, 
  varia de 
  a 
 , 
  varia de 
  a 
 , e 
  de 
  a 
 .
Passo 6
2. Ordem: 
Aqui, 
  varia de 
  a 
 , 
  de 
  a 
 , e 
  de 
  a 
 .
Passo 7
3. Ordem: 
Aqui, 
  varia de 
  a 
 , 
  de 
  a 
 , e 
  de 
  a 
 .
Passo 8
4. Ordem: 
Aqui, 
  varia de 
  a 
 , 
  de 
  a 
 , e 
  de 
  a 
 .
Passo 9
5. Ordem: 
Aqui, 
  varia de 
  a 
 , 
  de 
  a 
 , e 
  de 
  a 
 .
Passo 10
6. Ordem: 
Aqui, 
  varia de 
  a 
 , 
  de 
  a 
 , e 
  de 
  a 
 .
Resposta
As seis formas de expressar a integral tripla são: