1.8 Expresse a parte real dos sinais a seguir na forma A e^{-a t} \cos (\omega t+\varphi) sendo A, a, \omega \mathrm{e} \varphi números reais com A>0 \mathrm{e}-\pi<\varphi \leq \pi :
x_{2}(t)=\sqrt{2} e^{j \pi / 4} \cos (3 t+2 \pi)

Passo 1

O enunciado pede para extrair a parte real de
x_{2}(t)=\sqrt{2}\,e^{j\pi/4}\,\cos\bigl(3t+2\pi\bigr)
e escrever essa parte real na forma
A\,e^{-a t}\,\cos\bigl(\omega t+\varphi\bigr),
com A>0, a,\omega,\varphi\in\mathbb{R} e -\pi<\varphi\le\pi.

Passo 2

Calcule o fator complexo \sqrt{2}\,e^{j\pi/4}. Usando
e^{j\pi/4}=\cos\frac{\pi}{4}+j\sin\frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}+j\frac{\sqrt{2}}{2},
temos
\sqrt{2}\,e^{j\pi/4} =\sqrt{2}\Bigl(\frac{\sqrt{2}}{2}+j\frac{\sqrt{2}}{2}\Bigr) =1+j.
Logo
x_{2}(t)=(1+j)\,\cos\bigl(3t+2\pi\bigr).

Passo 3

A parte real de (1+j)\cos(3t+2\pi) é
\Re\{(1+j)\cos(3t+2\pi)\} =\Re(1+j)\,\cos(3t+2\pi) =1\cdot\cos(3t+2\pi).
E como \cos(3t+2\pi)=\cos(3t), obtemos
\Re\{x_{2}(t)\}=\cos(3t).

Passo 4

Compare com a forma
A\,e^{-a t}\,\cos\bigl(\omega t+\varphi\bigr).
Aqui não há decaimento, então a=0. Temos
\cos(3t)=1\cdot e^{0\cdot t}\,\cos\bigl(3t+0\bigr).
Portanto
A=1,\quad a=0,\quad \omega=3,\quad \varphi=0.

Resposta

A=1, a=0, \omega=3 e \varphi=0.

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