1.8 Expresse a parte real dos sinais a seguir na forma A e^{-a t} \cos (\omega t+\varphi) sendo A, a, \omega \mathrm{e} \varphi números reais com A>0 \mathrm{e}-\pi<\varphi \leq \pi :
x_{1}(\mathrm{t})=-2

Passo 1

O enunciado pede para escrever o sinal
x_{1}(t) = -2
na forma
A e^{-a t} \cos\bigl(\omega t + \varphi\bigr)
com A>0 e -\pi<\varphi\le\pi. O objetivo é identificar A, a, \omega e \varphi.

Passo 2

Note que x_{1}(t) é constante (não depende de t), logo não há atenuação nem oscilação. Isso implica
a = 0 \quad\text{e}\quad \omega = 0.

Passo 3

A expressão torna-se
x_{1}(t) = A e^{0\cdot t} \cos\bigl(0\cdot t + \varphi\bigr) = A \cos\varphi.
Queremos A>0 e A\cos\varphi = -2. Basta escolher A=2, de modo que
\cos\varphi = \frac{-2}{2} = -1
e isso ocorre quando \varphi = \pi (que satisfaz -\pi<\varphi\le\pi).

Passo 4

Substituindo os valores encontrados:
x_{1}(t) = 2\,e^{0\cdot t}\cos\bigl(0\cdot t + \pi\bigr).

Resposta

x_{1}(t) = 2\,e^{0t}\cos\bigl(0t + \pi\bigr),
com A=2, a=0, \omega=0 e \varphi=\pi.

Exercícios relacionados