1.8 Expresse a parte real dos sinais a seguir na forma A e^{-a t} \cos (\omega t+\varphi) sendo A, a, \omega \mathrm{e} \varphi números reais com A>0 \mathrm{e}-\pi<\varphi \leq \pi :
x_{3}(t)=e^{-t} \operatorname{sen}(3 t+\pi)

Passo 1

O enunciado dá
x_{3}(t)=e^{-t}\,\operatorname{sen}(3t+\pi)
e pede para escrevê-lo como
A\,e^{-a t}\cos\bigl(\omega t+\varphi\bigr)
com A>0 e -\pi<\varphi\le\pi.

Passo 2

Usamos a identidade trigonométrica
\operatorname{sen}(\theta)=\cos\!\bigl(\theta-\tfrac{\pi}{2}\bigr).
Logo, com \theta=3t+\pi, tem-se
\operatorname{sen}(3t+\pi) =\cos\!\bigl((3t+\pi)-\tfrac{\pi}{2}\bigr) =\cos\!\bigl(3t+\pi-\tfrac{\pi}{2}\bigr).

Passo 3

Calculamos a fase:
\pi-\tfrac{\pi}{2}=\tfrac{\pi}{2}.
Portanto
x_{3}(t) =e^{-t}\cos\!\bigl(3t+\tfrac{\pi}{2}\bigr).
Comparando com A\,e^{-a t}\cos(\omega t+\varphi), obtemos
A=1,\quad a=1,\quad \omega=3,\quad \varphi=\tfrac{\pi}{2}.

Resposta

x_{3}(t)=1\cdot e^{-1\cdot t}\cos\!\Bigl(3t+\tfrac{\pi}{2}\Bigr),
isto é, A=1, a=1, \omega=3 e \varphi=\tfrac{\pi}{2}.

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