Expresse (partial CV / partial V)T como segunda derivada de U e encontre sua relação para (partial U / partial V)T. Para esta relação, mostre que (partial CV / partial V)T=0 para um gás perfeito. R cdot(partial CVpartial V)T=(partialpartial T(partial Upartial V)T)V

Passo 1

Beleza, o exercício pede pra gente mostrar que
l(partial CVpartial Vr)T
pode ser escrito como derivada segunda de l(partial Upartial Vr)T , e em seguida encontrar uma relação com
CV = l(partial Upartial Tr)V
e provar que, no caso de gás perfeito, .
Conteúdo: Termodinâmica – energia interna e capacidade térmica. Vamos precisar da definição
e usar que derivadas parciais de commutam (teorema de Schwarz).

Passo 2

Primeiro, escrevemos
l(partial CVpartial Vr)T =l(partialpartial V l(tfracpartial Upartial Tr)Vr)T
Como l(partialpartial V partial Upartial Tr)T =partial^2 Upartial V,partial T é “bonitinha” (suficientemente contínua), podemos trocar a ordem das derivadas parciais:
Isso já mostra que é uma segunda derivada de .

Passo 3

Agora, também podemos ler essa segunda derivada pela outra ordem:
partial^2 Upartial V,partial T =l(partialpartial T l(tfracpartial Upartial Vr)Tr)V
Logo chegamos à relação desejada:
l(partial CVpartial Vr)T =l(partialpartial T l(tfracpartial Upartial Vr)Tr)V
Se quisermos, é só multiplicar os dois lados por R,l(partial CVpartial Vr)T =l(partialpartial T l(tfracpartial Upartial Vr)Tr)V (que é constante) e fica

Passo 4

Pra gás perfeito, a energia interna l(partial Upartial Vr)T=0 depende só de l(partialpartial T0r)V=0 , não de l(partial CVpartial Vr)T=0 . Ou seja,
Então a derivada no lado direito vira
e, consequentemente,

Resposta

boxed l(partial CVpartial Vr)T =partial^2 Upartial T,partial V =l(partialpartial T (tfracpartial Upartial V)Tr)V e, para gás perfeito, l(partial CVpartial Vr)T=0 á

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