Expresse
como segunda derivada de
e encontre sua relação para
. Para esta relação, mostre que
para um gás perfeito.
Passo 1
Beleza, o exercício pede pra gente mostrar que
pode ser escrito como derivada segunda de
, e em seguida encontrar uma relação com
e provar que, no caso de gás perfeito,
.
Conteúdo: Termodinâmica – energia interna e capacidade térmica. Vamos precisar da definição
Conteúdo: Termodinâmica – energia interna e capacidade térmica. Vamos precisar da definição
e usar que derivadas parciais de
commutam (teorema de Schwarz).
Passo 2
Primeiro, escrevemos
Como
é “bonitinha” (suficientemente contínua), podemos trocar a ordem das derivadas parciais:
Isso já mostra que
é uma segunda derivada de
.
Passo 3
Agora, também podemos ler essa segunda derivada pela outra ordem:
Logo chegamos à relação desejada:
Se quisermos, é só multiplicar os dois lados por
(que é constante) e fica
Passo 4
Pra gás perfeito, a energia interna
depende só de
, não de
. Ou seja,
Então a derivada no lado direito vira
e, consequentemente,