Expresse o produto A \mathbf{x} como uma combinação linear dos vetores coluna de A.
\left[\begin{array}{rrr}2 & 1 & 5 \\\\ 6 & 3 & -8\end{array}\right]\left[\begin{array}{r}3 \\\\ 0 \\\\ -5\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede para expressar o produto A\mathbf{x} como uma combinação linear dos vetores coluna de A. As informações dadas são:
A=\begin{pmatrix}2 & 1 & 5 \\[4pt] 6 & 3 & -8\end{pmatrix}, \qquad \mathbf{x}=\begin{pmatrix}3 \\[4pt] 0 \\[4pt] -5\end{pmatrix}.]

Passo 2

Primeiro, a ideia geral que vamos usar: se A é uma matriz cujas colunas são \mathbf{a}_1,\mathbf{a}_2,\dots,\mathbf{a}_n e \mathbf{x}=(x_1,x_2,\dots,x_n)^T, então
A\mathbf{x}=x_1\mathbf{a}_1+x_2\mathbf{a}_2+\cdots+x_n\mathbf{a}_n.
Explicando devagar: cada entrada x_i do vetor \mathbf{x} escala a coluna \mathbf{a}_i correspondente, e somando essas colunas escaladas obtemos o produto A\mathbf{x}. Aqui \mathbf{a}_i é o vetor coluna i-ésimo de A e x_i é a i-ésima componente de \mathbf{x}.

Passo 3

Identificamos as colunas de A (peguei esses vetores diretamente da matriz dada):
\mathbf{a}_1=\begin{pmatrix}2\\[4pt]6\end{pmatrix},\qquad \mathbf{a}_2=\begin{pmatrix}1\\[4pt]3\end{pmatrix},\qquad \mathbf{a}_3=\begin{pmatrix}5\\[4pt]-8\end{pmatrix}.
As componentes de \mathbf{x} são x_1=3, x_2=0, x_3=-5.]

Passo 4

Aplicando a fórmula da combinação linear:
A\mathbf{x}=x_1\mathbf{a}_1+x_2\mathbf{a}_2+x_3\mathbf{a}_3 =3\begin{pmatrix}2\\[4pt]6\end{pmatrix} +0\begin{pmatrix}1\\[4pt]3\end{pmatrix} +(-5)\begin{pmatrix}5\\[4pt]-8\end{pmatrix}.
Aqui substituí x_1,x_2,x_3 e as colunas \mathbf{a}_1,\mathbf{a}_2,\mathbf{a}_3.]

Passo 5

Calculemos cada produto escalar com a coluna:
3\begin{pmatrix}2\\[4pt]6\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3\cdot 2\\[4pt]3\cdot 6\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}6\\[4pt]18\end{pmatrix}, \qquad 0\begin{pmatrix}1\\[4pt]3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\[4pt]0\end{pmatrix},
(-5)\begin{pmatrix}5\\[4pt]-8\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-5\cdot 5\\[4pt]-5\cdot(-8)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-25\\[4pt]40\end{pmatrix}.]

Passo 6

Agora somamos as três colunas resultantes componente a componente:
\begin{pmatrix}6\\[4pt]18\end{pmatrix} +\begin{pmatrix}0\\[4pt]0\end{pmatrix} +\begin{pmatrix}-25\\[4pt]40\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}6+0-25\\[4pt]18+0+40\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-19\\[4pt]58\end{pmatrix}.]

Resposta

\displaystyle \begin{pmatrix}-19\\[4pt]58\end{pmatrix}]

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