Em cada parte, encontre a forma vetorial da solução geral do sistema linear A \mathbf{x}=\mathbf{b} dado e depois use o resultado obtido para encontrar a forma vetorial da solução geral de A \mathbf{x}=\mathbf{0}.
e pede (1) a forma vetorial da solução geral de A\mathbf{x}=\mathbf{b} (ou seja, do sistema acima) e (2) a forma vetorial da solução geral de A\mathbf{x}=\mathbf{0} (o homógeneo associado).
e pede as mesmas duas coisas: (1) forma vetorial da solução geral de A\mathbf{x}=\mathbf{b} e (2) forma vetorial da solução geral de A\mathbf{x}=\mathbf{0}.
Informações relevantes: em cada parte temos 3 incógnitas \,x_{1},x_{2},x_{3}\, e 2 equações — portanto é natural aparecerem variáveis livres e uma família infinita de soluções. A tarefa é parametrizar essa família em forma vetorial.]
Passo 2
Breve aula rápida (sem medo): método que vamos usar é eliminação de Gauss para encontrar pivôs, identificar variáveis livres, escrever as variáveis em função de parâmetros e então colocar a solução na forma
\mathbf{x}=\mathbf{x}_p + t_1\mathbf{v}_1+\cdots,
onde \mathbf{x}_p é uma solução particular de A\mathbf{x}=\mathbf{b} e os vetores \mathbf{v}_i geram o espaço nulo (soluções de A\mathbf{x}=\mathbf{0}). Isto funciona porque o conjunto de soluções do sistema linear não-homógeneo é um deslocamento (uma translação) do subespaço solução do homógeneo.
Passo 3
Parte (a): escrevendo a matriz aumentada e aplicando eliminação.
Isto é a forma vetorial da solução geral de A\mathbf{x}=\mathbf{b} na parte (a). Aqui \begin{pmatrix}4\\\ 1\\\ 0\end{pmatrix} é uma solução particular \mathbf{x}_p e \begin{pmatrix}-3\\\ -1\\\ 2\end{pmatrix} é um vetor da base do núcleo.]
Passo 8
Agora a parte homogênea (a mesma matriz de coeficientes, mas \mathbf{b}=\mathbf{0}). Repetindo o processo com b=0, da segunda equação obtemos