Em cada parte, encontre a forma vetorial da solução geral do sistema linear A \mathbf{x}=\mathbf{b} dado e depois use o resultado obtido para encontrar a forma vetorial da solução geral de A \mathbf{x}=\mathbf{0}.
x_{1}+x_{2}+2 x_{3}=5
2 x_{1}-6 x_{2}=2
\begin{aligned} x_{1}+x_{3} & =-2 \\\\ 2 x_{1}+x_{2}+3 x_{3} & =3 \end{aligned}

Passo 1

Parte (a): o enunciado dá o sistema
\begin{aligned} x_{1}+x_{2}+2x_{3} &= 5,\\[4pt] 2x_{1}-6x_{2}+0x_{3} &= 2, \end{aligned}
e pede (1) a forma vetorial da solução geral de A\mathbf{x}=\mathbf{b} (ou seja, do sistema acima) e (2) a forma vetorial da solução geral de A\mathbf{x}=\mathbf{0} (o homógeneo associado).
Parte (b): o enunciado dá o sistema
\begin{aligned} x_{1}+x_{3} &= -2,\\[4pt] 2x_{1}+x_{2}+3x_{3} &= 3, \end{aligned}
e pede as mesmas duas coisas: (1) forma vetorial da solução geral de A\mathbf{x}=\mathbf{b} e (2) forma vetorial da solução geral de A\mathbf{x}=\mathbf{0}.
Informações relevantes: em cada parte temos 3 incógnitas \,x_{1},x_{2},x_{3}\, e 2 equações — portanto é natural aparecerem variáveis livres e uma família infinita de soluções. A tarefa é parametrizar essa família em forma vetorial.]

Passo 2

Breve aula rápida (sem medo): método que vamos usar é eliminação de Gauss para encontrar pivôs, identificar variáveis livres, escrever as variáveis em função de parâmetros e então colocar a solução na forma
\mathbf{x}=\mathbf{x}_p + t_1\mathbf{v}_1+\cdots,
onde \mathbf{x}_p é uma solução particular de A\mathbf{x}=\mathbf{b} e os vetores \mathbf{v}_i geram o espaço nulo (soluções de A\mathbf{x}=\mathbf{0}). Isto funciona porque o conjunto de soluções do sistema linear não-homógeneo é um deslocamento (uma translação) do subespaço solução do homógeneo.

Passo 3

Parte (a): escrevendo a matriz aumentada e aplicando eliminação.
Matriz aumentada inicial (linha por linha):
\begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 & \vline & 5\\[4pt] 2 & -6 & 0 & \vline & 2 \end{pmatrix}.
Eliminação: substituir a segunda linha por R_2-2R_1. Calculando termo a termo:
R_2-2R_1 = (2-2\cdot1,\;-6-2\cdot1,\;0-2\cdot2,\;2-2\cdot5) = (0,\,-8,\,-4,\,-8).
Portanto a matriz fica
\begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 & \vline & 5\\[4pt] 0 & -8 & -4 & \vline & -8 \end{pmatrix}.]

Passo 4

Continuando a simplificação da segunda equação: a segunda linha corresponde à equação
-8x_{2}-4x_{3}=-8.
Dividindo por -4 (para simplificar) obtemos
2x_{2}+x_{3}=2.
Esta é uma equação simples que relaciona x_{2} e x_{3}.

Passo 5

Escolha de variável livre: como há menos equações que incógnitas, escolhemos x_{3} como parâmetro livre. Defina
x_{3}=t,\qquad t\in\mathbb{R}.
Da equação 2x_{2}+x_{3}=2 segue
2x_{2}+t=2\quad\Rightarrow\quad x_{2}=1-\frac{t}{2}.

Passo 6

Agora use a primeira equação x_{1}+x_{2}+2x_{3}=5 para encontrar x_{1}. Substituindo x_{2}=1-\dfrac{t}{2} e x_{3}=t:
x_{1}+ \left(1-\frac{t}{2}\right) + 2t = 5.
Resolva para x_{1}:
x_{1} = 5 - 1 + \frac{t}{2} - 2t = 4 - \frac{3t}{2}.

Passo 7

Expressando a solução em forma vetorial: juntando as coordenadas
\mathbf{x}=\begin{pmatrix}x_{1}\\[4pt]x_{2}\\[4pt]x_{3}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}4-\dfrac{3t}{2}\\[6pt]1-\dfrac{t}{2}\\[6pt]t\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}4\\[4pt]1\\[4pt]0\end{pmatrix} +t\begin{pmatrix}-\dfrac{3}{2}\\[6pt]-\dfrac{1}{2}\\[6pt]1\end{pmatrix}.
Para evitar frações, podemos reparametrizar: seja t=2s. Então
\mathbf{x}=\begin{pmatrix}4\\[4pt]1\\[4pt]0\end{pmatrix} +s\begin{pmatrix}-3\\[6pt]-1\\[6pt]2\end{pmatrix},\qquad s\in\mathbb{R}.
Isto é a forma vetorial da solução geral de A\mathbf{x}=\mathbf{b} na parte (a). Aqui \begin{pmatrix}4\\\ 1\\\ 0\end{pmatrix} é uma solução particular \mathbf{x}_p e \begin{pmatrix}-3\\\ -1\\\ 2\end{pmatrix} é um vetor da base do núcleo.]

Passo 8

Agora a parte homogênea (a mesma matriz de coeficientes, mas \mathbf{b}=\mathbf{0}). Repetindo o processo com b=0, da segunda equação obtemos
-8x_{2}-4x_{3}=0 \quad\Rightarrow\quad 2x_{2}+x_{3}=0.
Escolha x_{3}=t. Então x_{2}=-\dfrac{t}{2}. Da primeira equação x_{1}+x_{2}+2x_{3}=0 segue
x_{1} = -x_{2}-2x_{3} = -\left(-\frac{t}{2}\right)-2t = -\frac{3t}{2}.

Passo 9

Escrevendo a solução homogênea em forma vetorial:
\mathbf{x}=t\begin{pmatrix}-\dfrac{3}{2}\\[6pt]-\dfrac{1}{2}\\[6pt]1\end{pmatrix}.
De novo multiplicando o parâmetro por 2 (colocando t=2s) obtemos a forma sem frações:
\mathbf{x}=s\begin{pmatrix}-3\\[6pt]-1\\[6pt]2\end{pmatrix},\qquad s\in\mathbb{R}.
Portanto o espaço nulo é \operatorname{span}\{(-3,-1,2)^\top\}.]

Passo 10

Parte (b): escrevendo a matriz aumentada e aplicando eliminação.
Matriz aumentada inicial:
\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & \vline & -2\\[4pt] 2 & 1 & 3 & \vline & 3 \end{pmatrix}.
Eliminação: substituir a segunda linha por R_2-2R_1. Calculando:
R_2-2R_1 = (2-2\cdot1,\;1-2\cdot0,\;3-2\cdot1,\;3-2\cdot(-2)) = (0,\;1,\;1,\;7).
A matriz fica
\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & \vline & -2\\[4pt] 0 & 1 & 1 & \vline & 7 \end{pmatrix},
que corresponde às equações
\begin{aligned} x_{1}+x_{3} &= -2,\\[4pt] x_{2}+x_{3} &= 7. \end{aligned}]

Passo 11

Escolha de variável livre: escolha x_{3}=t. Então das equações acima:
x_{1} = -2 - t,\qquad x_{2} = 7 - t.
Assim a solução geral (não-homógenea) é
\mathbf{x}=\begin{pmatrix}-2-t\\[4pt]7-t\\[4pt]t\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-2\\[4pt]7\\[4pt]0\end{pmatrix} +t\begin{pmatrix}-1\\[4pt]-1\\[4pt]1\end{pmatrix},\qquad t\in\mathbb{R}.
Aqui \begin{pmatrix}-2\\\ 7\\\ 0\end{pmatrix} é uma solução particular e \begin{pmatrix}-1\\\ -1\\\ 1\end{pmatrix} gera o núcleo.]

Passo 12

Agora a parte homogênea da (b): definir \mathbf{b}=\mathbf{0}. As equações ficam
x_{1}+x_{3}=0,\qquad x_{2}+x_{3}=0.
Escolhendo x_{3}=t obtemos x_{1}=-t,\;x_{2}=-t. Assim
\mathbf{x}=t\begin{pmatrix}-1\\[4pt]-1\\[4pt]1\end{pmatrix},\qquad t\in\mathbb{R},
ou seja, o espaço nulo é \operatorname{span}\{(-1,-1,1)^\top\}.]

Resposta

Parte (a) — A\mathbf{x}=\mathbf{b}:
\mathbf{x}=\begin{pmatrix}4\\[4pt]1\\[4pt]0\end{pmatrix} +s\begin{pmatrix}-3\\[4pt]-1\\[4pt]2\end{pmatrix},\qquad s\in\mathbb{R}.
Parte (a) — A\mathbf{x}=\mathbf{0}:
\mathbf{x}=s\begin{pmatrix}-3\\[4pt]-1\\[4pt]2\end{pmatrix},\qquad s\in\mathbb{R}.
Parte (b) — A\mathbf{x}=\mathbf{b}:
\mathbf{x}=\begin{pmatrix}-2\\[4pt]7\\[4pt]0\end{pmatrix} +t\begin{pmatrix}-1\\[4pt]-1\\[4pt]1\end{pmatrix},\qquad t\in\mathbb{R}.
Parte (b) — A\mathbf{x}=\mathbf{0}:
\mathbf{x}=t\begin{pmatrix}-1\\[4pt]-1\\[4pt]1\end{pmatrix},\qquad t\in\mathbb{R}.]

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