Expresse como uma série de potências centrada em zero as seguintes funções:
f(x)=\frac{1-\cos x}{x^{2}}

Passo 1

O enunciado pede: expressar como uma série de potências centrada em zero a função
f(x)=\frac{1-\cos x}{x^{2}}.
Informações dadas: a fórmula explícita de f(x). Observação: a expressão está escrita dividindo por x^{2}, então para x=0 a expressão original não está definida; porém é natural procurar a série em torno de 0 que mostrará o comportamento e o valor limitante em 0.

Passo 2

Vamos usar a série de Maclaurin (série de Taylor centrada em zero) da função \cos x. A série conhecida e frequentemente demonstrada pela fórmula de Taylor é
\cos x=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\frac{x^{2n}}{(2n)!}.
Explicando: o termo geral aqui é (-1)^{n}x^{2n}/(2n)!. Aparecem apenas potências pares x^{2n} porque todas as derivadas ímpares de \cos x em 0 são zero; o fatorial (2n)! vem da divisão pela 2n-ésima derivada avaliada em zero multiplicada por n! do desenvolvimento de Taylor. Por exemplo os primeiros termos são
\cos x = 1 - \frac{x^{2}}{2!} + \frac{x^{4}}{4!} - \frac{x^{6}}{6!} + \cdots.

Passo 3

Subtraindo \cos x de 1 obtemos
1-\cos x = \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{x^{2n}}{(2n)!}.
Aqui expliquei: o termo constante 1 cancela com o termo n=0 da série de \cos x, sobrando a soma a partir de n=1. Para verificar com os primeiros termos:
1-\cos x = \frac{x^{2}}{2!} - \frac{x^{4}}{4!} + \frac{x^{6}}{6!} - \cdots.

Passo 4

Agora dividimos termo a termo por x^{2}. Para x\neq 0 isto é permitido dentro da região de convergência da série (e depois veremos a extensão em x=0). Dividindo cada termo por x^{2} obtemos
\frac{1-\cos x}{x^{2}} = \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{x^{2n-2}}{(2n)!}.
Escrevendo os primeiros termos:
\frac{1-\cos x}{x^{2}} = \frac{1}{2!} - \frac{x^{2}}{4!} + \frac{x^{4}}{6!} - \cdots.
Note que já vemos o termo constante \frac{1}{2} como o termo independente de x.

Passo 5

Para deixar o termo geral mais confortável, fazemos uma reindexação. Coloque k=n-1. Então k varia de 0 até \infty e substituindo:
\frac{1-\cos x}{x^{2}} = \sum_{k=0}^{\infty}(-1)^{k}\frac{x^{2k}}{(2k+2)!}.
Verificação rápida: para k=0 temos (-1)^{0}x^{0}/2!=1/2. Para k=1 temos -x^{2}/4!, que coincide com o termo anterior. Esta é uma forma compacta e correta do series.

Passo 6

Sobre convergência e valor em 0: a série de \cos x tem raio de convergência infinito, logo a série que obtivemos também tem raio de convergência infinito. A expressão original estava indeterminada em x=0, mas a série mostra que o limite existe e é \frac{1}{2}. Ou seja, se definirmos a extensão analítica em 0 por continuidade, f(0)=\tfrac{1}{2}. Assim a série representa a função (estendida) em toda a reta real.

Passo 7

Resumo didático rápido de como repetir na prova: lembrar a série de \cos x, subtrair de 1 (cancela o termo constante), dividir por x^{2} termo a termo, reindexar se quiser o termo geral elegante, e observar o termo constante que dá o valor em 0.

Resposta

\frac{1-\cos x}{x^{2}}=\sum_{k=0}^{\infty}(-1)^{k}\frac{x^{2k}}{(2k+2)!}=\frac{1}{2}-\frac{x^{2}}{4!}+\frac{x^{4}}{6!}-\cdots

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