Expresse como uma série de potências centrada em zero as seguintes funções:
f(x)=\sin \left(2 x^{3}\right)

Passo 1

O enunciado pede que eu expresse como uma série de potências centrada em zero (ou seja, série de Maclaurin) a função
f(x)=\sin\left(2x^{3}\right).
Informações relevantes do enunciado:
\text{Função dada: }f(x)=\sin\bigl(2x^{3}\bigr).çã
A tarefa é escrever essa função como uma soma infinita de potências de \,x centrada em \,0.

Passo 2

Vou lembrar a série de Maclaurin (expansão em torno de zero) conhecida para \sin t. Essa série é um resultado básico de Taylor e pode ser obtida derivando \sin t várias vezes em t=0 ou lembrando a expansão padrão. A forma geral é:
\sin t=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\frac{t^{2n+1}}{(2n+1)!}.
Explicando essa fórmula:
  • A variável de expansão é t.
  • O índice n percorre os inteiros não negativos 0,1,2,\dots.
  • O fator (-1)^{n} alterna os sinais dos termos.
  • O expoente 2n+1 aparece porque as derivadas pares de \sin em zero são zero, apenas as ordens ímpares sobrevivem.
  • O denominador (2n+1)! vem da fórmula de Taylor com fator fatorial das derivadas.
    Como exemplo concreto, os primeiros termos dessa série são
\sin t = t - \frac{t^{3}}{3!} + \frac{t^{5}}{5!} - \frac{t^{7}}{7!} + \cdots.

Passo 3

Agora faço a substituição necessária para obter \sin\bigl(2x^{3}\bigr). No lugar de t coloco t=2x^{3}. Usando a série anterior:
\sin\bigl(2x^{3}\bigr)=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\frac{\bigl(2x^{3}\bigr)^{2n+1}}{(2n+1)!}.

Passo 4

Vou simplificar o termo \bigl(2x^{3}\bigr)^{2n+1}. Usando as propriedades de potências:
\bigl(2x^{3}\bigr)^{2n+1}=2^{\,2n+1}\bigl(x^{3}\bigr)^{2n+1}=2^{\,2n+1}x^{3(2n+1)}=2^{\,2n+1}x^{6n+3}.
Substituindo isso na soma do passo anterior obtemos:
\sin\bigl(2x^{3}\bigr)=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\frac{2^{\,2n+1}x^{6n+3}}{(2n+1)!}.

Passo 5

É útil ver os primeiros termos explicitamente para fixar o padrão. Para n=0,1,2 temos:
  • n=0: termo =(-1)^{0}\dfrac{2^{1}x^{3}}{1!}=2x^{3}.
  • n=1: termo =(-1)^{1}\dfrac{2^{3}x^{9}}{3!}=-\dfrac{8x^{9}}{3!}.
  • n=2: termo =(-1)^{2}\dfrac{2^{5}x^{15}}{5!}=\dfrac{32x^{15}}{5!}.
    Portanto os primeiros termos da série são
\sin\bigl(2x^{3}\bigr)=2x^{3}-\frac{8x^{9}}{3!}+\frac{32x^{15}}{5!}-\cdots,
que coincide com a forma geral encontrada.

Passo 6

Sobre convergência: como \sin t é uma função inteira (holomorfa em toda a reta complexa), a série de Maclaurin de \sin t converge para todo t\in\mathbb{R}. Fazendo t=2x^{3} a série resultante converge para todo x\in\mathbb{R}. Em termos de raio de convergência, isso é equivalente a dizer que o raio é infinito. Alternativamente, pelo teste da razão aplicado ao termo geral a_{n}=(-1)^{n}\dfrac{2^{2n+1}x^{6n+3}}{(2n+1)!}, obtém-se que a razão tende a zero para qualquer x fixo, confirmando convergência absoluta para todo x.

Passo 7

Dicas práticas para a prova:
  • Memorize a série de \sin t e o padrão de sinais e fatoriais; para outras funções (como \cos, e^{t}) proceda similarmente.
  • Quando aparecer \sin de uma função composta, faça a substituição t= função composta e simplifique potências.
  • Para aproximar numericamente, basta truncar a série nos primeiros termos não nulos: o primeiro termo é 2x^{3}, então para x pequeno a aproximação \sin(2x^{3})\approx 2x^{3} já é razoável.
  • Lembre-se de checar convergência se for necessário (aqui é convergente para todo x).

Resposta

\sin\bigl(2x^{3}\bigr)=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\frac{2^{\,2n+1}x^{6n+3}}{(2n+1)!}
\sin\bigl(2x^{3}\bigr)=2x^{3}-\frac{8x^{9}}{3!}+\frac{32x^{15}}{5!}-\cdots

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