Expresse como uma série de potências centrada em zero as seguintes funções:
Passo 1
O enunciado pede que eu expresse como uma série de potências centrada em zero (ou seja, série de Maclaurin) a função
Informações relevantes do enunciado:
A tarefa é escrever essa função como uma soma infinita de potências de
centrada em
.
Passo 2
Vou lembrar a série de Maclaurin (expansão em torno de zero) conhecida para
. Essa série é um resultado básico de Taylor e pode ser obtida derivando
várias vezes em
ou lembrando a expansão padrão. A forma geral é:
Explicando essa fórmula:
- A variável de expansão é
. - O índice
percorre os inteiros não negativos . - O fator
alterna os sinais dos termos. - O expoente
aparece porque as derivadas pares de em zero são zero, apenas as ordens ímpares sobrevivem. - O denominador
vem da fórmula de Taylor com fator fatorial das derivadas.
Como exemplo concreto, os primeiros termos dessa série são
Passo 3
Agora faço a substituição necessária para obter
. No lugar de
coloco
. Usando a série anterior:
Passo 4
Vou simplificar o termo
. Usando as propriedades de potências:
Substituindo isso na soma do passo anterior obtemos:
Passo 5
É útil ver os primeiros termos explicitamente para fixar o padrão. Para
temos:
-
termo -
termo -
termo
Portanto os primeiros termos da série são
que coincide com a forma geral encontrada.
Passo 6
Sobre convergência: como
é uma função inteira (holomorfa em toda a reta complexa), a série de Maclaurin de
converge para todo
. Fazendo
a série resultante converge para todo
. Em termos de raio de convergência, isso é equivalente a dizer que o raio é infinito. Alternativamente, pelo teste da razão aplicado ao termo geral
, obtém-se que a razão tende a zero para qualquer
fixo, confirmando convergência absoluta para todo
.
Passo 7
Dicas práticas para a prova:
- Memorize a série de
e o padrão de sinais e fatoriais; para outras funções (como , ) proceda similarmente. - Quando aparecer
de uma função composta, faça a substituição função composta e simplifique potências. - Para aproximar numericamente, basta truncar a série nos primeiros termos não nulos: o primeiro termo é
, então para pequeno a aproximação já é razoável. - Lembre-se de checar convergência se for necessário (aqui é convergente para todo
).