Expresse como uma série de potências centrada em zero as seguintes funções:
Passo 1
O enunciado pede: expressar como uma série de potências centrada em zero a função
Informações dadas: a fórmula explícita de
. Observação: a expressão está escrita dividindo por
, então para
a expressão original não está definida; porém é natural procurar a série em torno de
que mostrará o comportamento e o valor limitante em
.
Passo 2
Vamos usar a série de Maclaurin (série de Taylor centrada em zero) da função
. A série conhecida e frequentemente demonstrada pela fórmula de Taylor é
Explicando: o termo geral aqui é
. Aparecem apenas potências pares
porque todas as derivadas ímpares de
em
são zero; o fatorial
vem da divisão pela
-ésima derivada avaliada em zero multiplicada por
do desenvolvimento de Taylor. Por exemplo os primeiros termos são
Passo 3
Subtraindo
de
obtemos
Aqui expliquei: o termo constante
cancela com o termo
da série de
, sobrando a soma a partir de
. Para verificar com os primeiros termos:
Passo 4
Agora dividimos termo a termo por
. Para
isto é permitido dentro da região de convergência da série (e depois veremos a extensão em
). Dividindo cada termo por
obtemos
Escrevendo os primeiros termos:
Note que já vemos o termo constante
como o termo independente de
.
Passo 5
Para deixar o termo geral mais confortável, fazemos uma reindexação. Coloque
. Então
varia de
até
e substituindo:
Verificação rápida: para
temos
. Para
temos
, que coincide com o termo anterior. Esta é uma forma compacta e correta do series.
Passo 6
Sobre convergência e valor em
: a série de
tem raio de convergência infinito, logo a série que obtivemos também tem raio de convergência infinito. A expressão original estava indeterminada em
, mas a série mostra que o limite existe e é
. Ou seja, se definirmos a extensão analítica em
por continuidade,
. Assim a série representa a função (estendida) em toda a reta real.
Passo 7
Resumo didático rápido de como repetir na prova: lembrar a série de
, subtrair de
(cancela o termo constante), dividir por
termo a termo, reindexar se quiser o termo geral elegante, e observar o termo constante que dá o valor em
.