Expresse como uma série de potências centrada em zero as seguintes funções:
Passo 1
O enunciado pede: expressar como uma série de potências centrada em zero a função
.
Informações dadas:
.
Queremos a forma em série de potências centrada em zero (uma série de Maclaurin), isto é, uma representação do tipo .
Não há outras restrições explícitas (por exemplo, intervalo de validade), portanto encontraremos a série e indicaremos onde ela converge.
Informações dadas:
Queremos a forma em série de potências centrada em zero (uma série de Maclaurin), isto é, uma representação do tipo
Não há outras restrições explícitas (por exemplo, intervalo de validade), portanto encontraremos a série e indicaremos onde ela converge.
Passo 2
O que é uma série de potências centrada em zero (Maclaurin) e como obter os coeficientes.
Uma série de potências centrada em zero tem a forma
Uma série de potências centrada em zero tem a forma
Para uma função
suficientemente suave em
, os coeficientes
da série de Maclaurin são dados por
onde
é a
-ésima derivada de
avaliada em
e
é o fatorial de
.
Na prática, para funções clássicas como e
é mais rápido recordar suas séries conhecidas do que derivar muitas vezes na prova.
Na prática, para funções clássicas como
Passo 3
Série de Maclaurin de
.
As derivadas de são todas
, logo em
temos
para todo
. Portanto
As derivadas de
Assim a série de
centrada em zero é
Essa série converge para todo
(raio de convergência infinito).
Passo 4
Série de Maclaurin de
.
As derivadas de formam o ciclo
. Avaliando em
:
e assim por diante. Isso mostra que apenas as derivadas de ordem ímpar dão valor diferente de zero, e seguem o padrão alternado. Para
,
As derivadas de
Portanto a série de
é
e essa série também converge para todo
.
Passo 5
Somando as duas séries para obter
.
Somamos termo a termo (soma de séries com mesmo centro é válida dentro da interseção dos raios de convergência; aqui ambos têm raio infinito, então vale para todo ):
Somamos termo a termo (soma de séries com mesmo centro é válida dentro da interseção dos raios de convergência; aqui ambos têm raio infinito, então vale para todo
Para ver os primeiros termos, escrevemos as duas expansões e somamos:
Somando termo a termo obtemos os primeiros termos de
:
(Observe que o termo em
se cancela:
.)
Passo 6
Forma compacta dos coeficientes (opcional, mas útil na prova).
Podemos escrever com coeficientes
dados por:
para ,
Podemos escrever
para
Isto reflete que os termos de ordem par vêm só de
, e os termos de ordem ímpar são a soma das contribuições de
e de
(algumas dessas somas anulam-se quando
).
Passo 7
Raio de convergência e conclusão rápida.
Como ambas séries têm raio de convergência infinito, a série resultante converge para para todo
. Assim a representação em série encontrada é válida globalmente.
Como ambas séries têm raio de convergência infinito, a série resultante converge para