Expresse como uma série de potências centrada em zero as seguintes funções:
f(x)=e^{x}+\sin x

Passo 1

O enunciado pede: expressar como uma série de potências centrada em zero a função f(x)=e^{x}+\sin x.
Informações dadas:
\,f(x)=e^{x}+\sin x.
Queremos a forma em série de potências centrada em zero (uma série de Maclaurin), isto é, uma representação do tipo \sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n.
Não há outras restrições explícitas (por exemplo, intervalo de validade), portanto encontraremos a série e indicaremos onde ela converge.

Passo 2

O que é uma série de potências centrada em zero (Maclaurin) e como obter os coeficientes.
Uma série de potências centrada em zero tem a forma
\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n.
Para uma função g suficientemente suave em 0, os coeficientes a_n da série de Maclaurin são dados por
a_n=\frac{g^{(n)}(0)}{n!},
onde g^{(n)}(0) é a n-ésima derivada de g avaliada em 0 e n! é o fatorial de n.
Na prática, para funções clássicas como e^x e \sin x é mais rápido recordar suas séries conhecidas do que derivar muitas vezes na prova.

Passo 3

Série de Maclaurin de \,e^{x}.
As derivadas de e^{x} são todas e^{x}, logo em 0 temos e^{(n)}(0)=1 para todo n. Portanto
\frac{e^{(n)}(0)}{n!}=\frac{1}{n!}.
Assim a série de e^{x} centrada em zero é
e^{x}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+\cdots.
Essa série converge para todo x (raio de convergência infinito).

Passo 4

Série de Maclaurin de \,\sin x.
As derivadas de \sin x formam o ciclo \sin x,\cos x,-\sin x,-\cos x,\sin x,\dots. Avaliando em 0:
\sin(0)=0,\\ \cos(0)=1,\\\ -\sin(0)=0,\\\ -\cos(0)=-1, e assim por diante. Isso mostra que apenas as derivadas de ordem ímpar dão valor diferente de zero, e seguem o padrão alternado. Para k\ge0,
\frac{\sin^{(2k+1)}(0)}{(2k+1)!}=\frac{(-1)^k}{(2k+1)!}.
Portanto a série de \sin x é
\sin x=\sum_{k=0}^{\infty}(-1)^k\frac{x^{2k+1}}{(2k+1)!}=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\cdots,
e essa série também converge para todo x.

Passo 5

Somando as duas séries para obter f(x)=e^{x}+\sin x.
Somamos termo a termo (soma de séries com mesmo centro é válida dentro da interseção dos raios de convergência; aqui ambos têm raio infinito, então vale para todo x):
f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}+\sum_{k=0}^{\infty}(-1)^k\frac{x^{2k+1}}{(2k+1)!}.
Para ver os primeiros termos, escrevemos as duas expansões e somamos:
e^{x}=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+\frac{x^5}{5!}+\cdots,
\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\cdots.
Somando termo a termo obtemos os primeiros termos de f(x):
f(x)=1+2x+\frac{x^2}{2!}+0\cdot x^3+\frac{x^4}{4!}+\frac{1}{60}x^5+\cdots.
(Observe que o termo em x^3 se cancela: \tfrac{x^3}{3!}-\tfrac{x^3}{3!}=0.)

Passo 6

Forma compacta dos coeficientes (opcional, mas útil na prova).
Podemos escrever f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}c_n x^n com coeficientes c_n dados por:
para m\ge0,
c_{2m}=\frac{1}{(2m)!},
c_{2m+1}=\frac{1+(-1)^m}{(2m+1)!}.
Isto reflete que os termos de ordem par vêm só de e^x, e os termos de ordem ímpar são a soma das contribuições de e^x e de \sin x (algumas dessas somas anulam-se quando 1+(-1)^m=0).

Passo 7

Raio de convergência e conclusão rápida.
Como ambas séries têm raio de convergência infinito, a série resultante converge para f(x) para todo x\in\mathbb{R}. Assim a representação em série encontrada é válida globalmente.

Resposta

f(x)=e^{x}+\sin x=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}+\sum_{k=0}^{\infty}(-1)^k\frac{x^{2k+1}}{(2k+1)!}
\text{ou, expandindo os primeiros termos: }f(x)=1+2x+\frac{x^2}{2!}+0\cdot x^3+\frac{x^4}{4!}+\frac{x^5}{60}+\cdots

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