Expresse como uma série de potências centrada em zero as seguintes funções:
f(x)=\sin x+\cos x

Passo 1

O enunciado pede: expressar como uma série de potências centrada em zero a função f(x)=\sin x+\cos x.
Informações dadas:
\sin x e \cos x estão explicitadas; queremos uma série de potências centrada em zero (ou seja, a série de Maclaurin de f). Não há outra condição extra no enunciado.

Passo 2

O que é a série de potências centrada em zero (série de Maclaurin)? É a expansão
f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(0)}{n!}\,x^{n},
onde f^{(n)}(0) é a n-ésima derivada de f avaliada em 0 e n! é o fatorial de n. Essa fórmula nos dá os coeficientes da série termo a termo. Vou aplicar isso a \sin x e \cos x.

Passo 3

Derivadas de \sin x e valores em 0. As derivadas de \sin x repetem o ciclo:
\sin x,\\ \cos x,\\\ -\sin x,\\\ -\cos x,\\ \sin x,\\ \ldots
Logo os valores em 0 seguem:
\sin(0)=0,\quad \cos(0)=1,\quad -\sin(0)=0,\quad -\cos(0)=-1,\\ \ldots
Isto mostra que só os termos de ordem ímpar são não nulos para \sin x. Mais precisamente, para k\ge0 temos
\sin x=\sum_{k=0}^{\infty}(-1)^{k}\frac{x^{2k+1}}{(2k+1)!}.
Aqui k é inteiro não negativo, e o fator (-1)^k vem da alternância de sinal nas derivadas.

Passo 4

Derivadas de \cos x e valores em 0. As derivadas de \cos x repetem o ciclo:
\cos x,\\\ -\sin x,\\\ -\cos x,\\ \sin x,\\ \cos x,\\ \ldots
Os valores em 0 são:
\cos(0)=1,\quad -\sin(0)=0,\quad -\cos(0)=-1,\quad \sin(0)=0,\\ \ldots
Isto mostra que só os termos de ordem par são não nulos para \cos x. Mais precisamente, para k\ge0 temos
\cos x=\sum_{k=0}^{\infty}(-1)^{k}\frac{x^{2k}}{(2k)!}.

Passo 5

Agora somamos as duas séries termo a termo (isso é permitido porque ambas convergem absolutamente para todo x, então a soma termo a termo é válida). Somando \sin x e \cos x obtemos
\sin x+\cos x=\sum_{k=0}^{\infty}(-1)^{k}\frac{x^{2k}}{(2k)!}+\sum_{k=0}^{\infty}(-1)^{k}\frac{x^{2k+1}}{(2k+1)!}.
Agrupando em uma única soma indexada por k,
\sin x+\cos x=\sum_{k=0}^{\infty}(-1)^{k}\left(\frac{x^{2k}}{(2k)!}+\frac{x^{2k+1}}{(2k+1)!}\right).

Passo 6

Para ficar mais concreto, escrevo os primeiros termos explícitos. Da expansão conhecida:
\sin x = x-\frac{x^{3}}{3!}+\frac{x^{5}}{5!}-\cdots
\cos x = 1-\frac{x^{2}}{2!}+\frac{x^{4}}{4!}-\cdots
Somando:
\sin x+\cos x = 1 + x -\frac{x^{2}}{2!}-\frac{x^{3}}{3!}+\frac{x^{4}}{4!}+\frac{x^{5}}{5!}-\cdots,
que coincide com a soma term a term da fórmula do passo anterior.

Passo 7

Raio de convergência: tanto a série de \sin x quanto a de \cos x têm raio de convergência infinito (convergem para todo x), portanto a série de f(x)=\sin x+\cos x também converge para todo x.

Resposta

\sin x+\cos x=\sum_{k=0}^{\infty}(-1)^{k}\left(\frac{x^{2k}}{(2k)!}+\frac{x^{2k+1}}{(2k+1)!}\right)
=1+x-\frac{x^{2}}{2!}-\frac{x^{3}}{3!}+\frac{x^{4}}{4!}+\frac{x^{5}}{5!}-\cdots

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