Expresse como uma série de potências centrada em zero as seguintes funções:
Passo 1
O enunciado pede: expressar como uma série de potências centrada em zero a função
.
Informações dadas:
e
estão explicitadas; queremos uma série de potências centrada em zero (ou seja, a série de Maclaurin de
). Não há outra condição extra no enunciado.
Passo 2
O que é a série de potências centrada em zero (série de Maclaurin)? É a expansão
onde
é a
-ésima derivada de
avaliada em
e
é o fatorial de
. Essa fórmula nos dá os coeficientes da série termo a termo. Vou aplicar isso a
e
.
Passo 3
Derivadas de
e valores em
. As derivadas de
repetem o ciclo:
Logo os valores em
seguem:
Isto mostra que só os termos de ordem ímpar são não nulos para
. Mais precisamente, para
temos
Aqui
é inteiro não negativo, e o fator
vem da alternância de sinal nas derivadas.
Passo 4
Derivadas de
e valores em
. As derivadas de
repetem o ciclo:
Os valores em
são:
Isto mostra que só os termos de ordem par são não nulos para
. Mais precisamente, para
temos
Passo 5
Agora somamos as duas séries termo a termo (isso é permitido porque ambas convergem absolutamente para todo
, então a soma termo a termo é válida). Somando
e
obtemos
Agrupando em uma única soma indexada por
,
Passo 6
Para ficar mais concreto, escrevo os primeiros termos explícitos. Da expansão conhecida:
Somando:
que coincide com a soma term a term da fórmula do passo anterior.
Passo 7
Raio de convergência: tanto a série de
quanto a de
têm raio de convergência infinito (convergem para todo
), portanto a série de
também converge para todo
.