Expresse o volume do sólido como uma integral dupla em coordenadas polares, e então calcule.
O sólido abaixo de z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}\, dentro do cilindro \(x^{2}+y^{2}=2 y e acima de z=0.)

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido limitado acima por z=\sqrt{x^2+y^2}, abaixo por z=0 e lateralmente pelo cilindro
x^2+y^2=2y.
Para resolver, vamos projetar o sólido no plano xy e usar coordenadas polares.

Passo 2

Em coordenadas polares temos
x=r\cos\theta,\quad y=r\sin\theta,
e o cilindro
x^2+y^2=2y
torna-se
r^2=2r\sin\theta \quad\Longrightarrow\quad r=2\sin\theta,
com r\ge0 e \sin\theta\ge0, isto é, \theta\in[0,\pi].

Passo 3

O volume é dado por
V=\iint_{D}\bigl(z_{\text{topo}}-z_{\text{fundo}}\bigr)\,dA =\iint_{D}\sqrt{x^2+y^2}\,dA.
Em polares \sqrt{x^2+y^2}=r e dA=r\,dr\,d\theta. O domínio D é
0\le r\le2\sin\theta,\quad 0\le\theta\le\pi.
Logo
V =\int_{0}^{\pi}\int_{0}^{2\sin\theta}r\,(r\,dr\,d\theta) =\int_{0}^{\pi}\int_{0}^{2\sin\theta}r^2\,dr\,d\theta.

Passo 4

Calcule a integral interna em r:
\int_{0}^{2\sin\theta}r^2\,dr =\left[\frac{r^3}{3}\right]_{0}^{2\sin\theta} =\frac{(2\sin\theta)^3}{3} =\frac{8}{3}\,\sin^3\theta.
Então
V =\int_{0}^{\pi}\frac{8}{3}\,\sin^3\theta\,d\theta =\frac{8}{3}\int_{0}^{\pi}\sin^3\theta\,d\theta.

Passo 5

Usamos
\int_{0}^{\pi}\sin^3\theta\,d\theta=\frac{4}{3},
portanto
V =\frac{8}{3}\,\cdot\frac{4}{3} =\frac{32}{9}.

Resposta

\displaystyle \frac{32}{9}

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