Expresse o volume do sólido como uma integral dupla em coordenadas polares, e então calcule.
O cilindro de raio a e altura h.

Passo 1

O enunciado pede para obter o volume de um cilindro de raio a e altura h como uma integral dupla em coordenadas polares. Vamos usar o conteúdo de integrais duplas e a mudança para coordenadas polares, lembrando que o fator de escala (jacobiano) é r.

Passo 2

Definimos a região D no plano xy correspondente à base circular do cilindro em coordenadas polares:
D = \{(r,\theta)\mid 0 \le r \le a,\;0 \le \theta \le 2\pi\}.
Como a altura é constante igual a h, o volume é
V = \iint_{D} h\,dA = \int_{0}^{2\pi}\!\int_{0}^{a} h\,r\,dr\,d\theta.

Passo 3

Primeiro fazemos a integral em r:
\int_{0}^{a} r\,dr = \left[\tfrac{r^{2}}{2}\right]_{0}^{a} = \frac{a^{2}}{2}.
Logo
V = h \int_{0}^{2\pi} \frac{a^{2}}{2}\,d\theta.

Passo 4

Agora integramos em \theta:
\int_{0}^{2\pi} d\theta = 2\pi.
Substituindo, obtemos
V = h \cdot \frac{a^{2}}{2} \cdot 2\pi = \pi a^{2}h.

Resposta

\pi a^{2}h

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