Exprimir a velocidade v e a aceleração a de uma particula em coordenadas cilindricas, onde o vetor posição pode ser representado por r.
r=x i+y j+z k

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a gente precisa fazer aqui. A questão pede para a gente encontrar a velocidade v e a aceleração a de uma partícula usando coordenadas cilíndricas. O vetor posição da partícula está dado em coordenadas cartesianas: r = x i + y j + z k. Para resolver, vamos precisar saber como converter essas coordenadas e como calcular derivadas vetoriais nessas coordenadas.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar como converter de coordenadas cartesianas (x, y, z) para cilíndricas (rho, phi, z). As relações são:
x = rho cos phi, y = rho sin phi, z = z
Aqui, rho é a distância radial do eixo z, phi é o ângulo no plano xy, e z permanece igual.

Passo 3

Agora, reescrevendo o vetor posição r em coordenadas cilíndricas, temos:
r = rho rho + z k
Onde:
  • rho é o vetor unitário na direção radial,
  • phi é o vetor unitário na direção angular,
  • k é o vetor unitário na direção do eixo z.

Passo 4

Para achar a velocidade v, vamos derivar o vetor posição r em relação ao tempo:
v = drdt = drhodt rho + rho drhodt + dzdt k
Sabemos que a derivada de rho em relação ao tempo é:
drhodt = dotphi phi
Substituindo isso na expressão da velocidade:
v = dotrho rho + rho dotphi phi + dotz k
Aqui, dotrho é a derivada de rho em relação ao tempo (taxa de variação radial), dotphi é a derivada de phi (taxa angular), e dotz é a derivada de z (variação na altura).

Passo 5

Agora, para encontrar a aceleração a, vamos derivar a velocidade v em relação ao tempo:
a = dvdt = ddotrhodt rho + dotrho drhodt + d(rho dotphi)dt phi + ddotzdt k
Calculando cada termo:
  • ddotrhodt = ddotrho (aceleração radial)
  • d(rho dotphi)dt = rho ddotphi + 2 dotrho dotphi
Substituindo tudo:
a = (ddotrho - rho dotphi^2) rho + (2 dotrho dotphi + rho ddotphi) phi + ddotz k
Aqui, ddotrho é a segunda derivada de rho (aceleração radial), ddotphi é a segunda derivada de phi (aceleração angular), e ddotz é a segunda derivada de z (aceleração na altura).

Resposta

A velocidade e a aceleração da partícula em coordenadas cilíndricas são:
v = dotrho rho + rho dotphi phi + dotz k
a = (ddotrho - rho dotphi^2) rho + (2 dotrho dotphi + rho ddotphi) phi + ddotz k

Exercícios relacionados