Exprimir a velocidade v e a aceleração a de uma particula em coordenadas cilindricas, onde o vetor posição pode ser representado por
.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a gente precisa fazer aqui. A questão pede para a gente encontrar a velocidade
e a aceleração
de uma partícula usando coordenadas cilíndricas. O vetor posição da partícula está dado em coordenadas cartesianas:
. Para resolver, vamos precisar saber como converter essas coordenadas e como calcular derivadas vetoriais nessas coordenadas.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar como converter de coordenadas cartesianas
para cilíndricas
. As relações são:
Aqui,
é a distância radial do eixo z,
é o ângulo no plano xy, e z permanece igual.
Passo 3
Agora, reescrevendo o vetor posição
em coordenadas cilíndricas, temos:
Onde:
-
é o vetor unitário na direção radial, -
é o vetor unitário na direção angular, -
é o vetor unitário na direção do eixo z.
Passo 4
Para achar a velocidade
, vamos derivar o vetor posição
em relação ao tempo:
Sabemos que a derivada de
em relação ao tempo é:
Substituindo isso na expressão da velocidade:
Aqui,
é a derivada de
em relação ao tempo (taxa de variação radial),
é a derivada de
(taxa angular), e
é a derivada de z (variação na altura).
Passo 5
Agora, para encontrar a aceleração
, vamos derivar a velocidade
em relação ao tempo:
Calculando cada termo:
-
(aceleração radial) -
Substituindo tudo:
Aqui,
é a segunda derivada de
(aceleração radial),
é a segunda derivada de
(aceleração angular), e
é a segunda derivada de z (aceleração na altura).
Resposta
A velocidade e a aceleração da partícula em coordenadas cilíndricas são: