Representar o vetor A em coordenadas cilindricas, demonstrando A rho, Avarphi e Az.
r=2 y i-z j+3 x k

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente representar o vetor A em coordenadas cilíndricas, ou seja, encontrar as componentes Arho, Avarphi e Az. O vetor dado é r = 2y,i - z,j + 3x,k. Para resolver isso, vamos precisar entender como converter coordenadas cartesianas para cilíndricas e como expressar vetores nesses novos eixos.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar como são as coordenadas cilíndricas. A gente tem três componentes:
  • rho: a distância radial no plano xy.
  • varphi: o ângulo em relação ao eixo x.
  • z: a mesma coordenada z das coordenadas cartesianas.
As relações para converter de cartesianas (x, y, z) para cilíndricas (rho, varphi, z) são:
rho = raizx^2 + y^2, varphi = arctan(yx), z = z

Passo 3

Agora, vamos expressar o vetor r nas coordenadas cilíndricas. Sabemos que os vetores unitários i e j podem ser escritos em termos de rho e varphi:
i = cosvarphi,rho - sinvarphi,varphi
j = sinvarphi,rho + cosvarphi,varphi
k = z
Substituindo essas expressões no vetor r:
r = 2y,i - z,j + 3x,k = 2y(cosvarphi,rho - sinvarphi,varphi) - z(sinvarphi,rho + cosvarphi,varphi) + 3x,z
Agora, substituímos x = rhocosvarphi e y = rhosinvarphi:
r = 2rhosinvarphi(cosvarphi,rho - sinvarphi,varphi) - z(sinvarphi,rho + cosvarphi,varphi) + 3rhocosvarphi,z
Simplificando os termos:
Arho = 2rhosinvarphi cosvarphi - z sinvarphi
Avarphi = -2rhosin^2varphi - z cosvarphi
Az = 3rhocosvarphi

Resposta

Portanto, as componentes do vetor A em coordenadas cilíndricas são:
Arho = 2rho sinvarphi, cosvarphi - z sinvarphi
Avarphi = -2rho sin^2varphi - z cosvarphi
Az = 3rho cosvarphi

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