Exprimir em coordenadas cilíndricas as grandezas:
nabla times A

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente expressar o rotacional de um campo vetorial A em coordenadas cilíndricas. Isso faz parte do conteúdo de Cálculo Vetorial. Para resolver isso, vamos precisar saber como calcular o rotacional ( nabla times A) usando as fórmulas específicas para coordenadas cilíndricas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que nas coordenadas cilíndricas, usamos três componentes: r (distância do ponto à origem na horizontal), theta (ângulo em relação ao eixo x) e z (altura). Um vetor A em coordenadas cilíndricas é dado por:
A = Ar,er + Atheta,etheta + Az,ez
onde Ar, Atheta e Az são as componentes do vetor nas direções r, theta e z, respectivamente.

Passo 3

O rotacional de A em coordenadas cilíndricas tem uma fórmula específica. Ela é um pouco mais complicada que em coordenadas cartesianas, mas vamos destrinchar:
nabla times A = ( 1r ( partial Azpartial theta - partial (r Atheta)partial z ) ) er + ( partial Arpartial z - partial Azpartial r ) etheta + 1r ( partial (r Atheta)partial r - partial Arpartial theta ) ez
Essa fórmula nos dá as componentes do rotacional em cada uma das direções das coordenadas cilíndricas.

Passo 4

Vamos entender cada parte dessa fórmula:
  • Componente r:
    1r ( partial Azpartial theta - partial (r Atheta)partial z )
    Isso envolve derivadas parciais de Az em relação a theta e de r Atheta em relação a z.
  • Componente theta:
    partial Arpartial z - partial Azpartial r
    Aqui, derivamos Ar em relação a z e Az em relação a r.
  • Componente z:
    1r ( partial (r Atheta)partial r - partial Arpartial theta )
    Inclui derivadas de r Atheta em relação a r e de Ar em relação a theta.

Passo 5

Agora, juntando tudo, o rotacional nabla times A em coordenadas cilíndricas fica:
nabla times A = ( 1r ( partial Azpartial theta - partial (r Atheta)partial z ) ) er + ( partial Arpartial z - partial Azpartial r ) etheta + 1r ( partial (r Atheta)partial r - partial Arpartial theta ) ez

Resposta

Então, o rotacional de A em coordenadas cilíndricas é dado por:
nabla times A = ( 1r ( partial Azpartial theta - partial (r Atheta)partial z ) ) er + ( partial Arpartial z - partial Azpartial r ) etheta + 1r ( partial (r Atheta)partial r - partial Arpartial theta ) ez

Exercícios relacionados