Exprimir em coordenadas cilíndricas as grandezas:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente expressar o rotacional de um campo vetorial
em coordenadas cilíndricas. Isso faz parte do conteúdo de Cálculo Vetorial. Para resolver isso, vamos precisar saber como calcular o rotacional (
) usando as fórmulas específicas para coordenadas cilíndricas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que nas coordenadas cilíndricas, usamos três componentes:
(distância do ponto à origem na horizontal),
(ângulo em relação ao eixo
) e
(altura). Um vetor
em coordenadas cilíndricas é dado por:
onde
,
e
são as componentes do vetor nas direções
,
e
, respectivamente.
Passo 3
O rotacional de
em coordenadas cilíndricas tem uma fórmula específica. Ela é um pouco mais complicada que em coordenadas cartesianas, mas vamos destrinchar:
Essa fórmula nos dá as componentes do rotacional em cada uma das direções das coordenadas cilíndricas.
Passo 4
Vamos entender cada parte dessa fórmula:
-
Componente
:
Isso envolve derivadas parciais deem relação a e de em relação a . -
Componente
:
Aqui, derivamosem relação a e em relação a . -
Componente
:
Inclui derivadas deem relação a e de em relação a .
Passo 5
Agora, juntando tudo, o rotacional
em coordenadas cilíndricas fica:
Resposta
Então, o rotacional de
em coordenadas cilíndricas é dado por: