Exresse os integrandos como soma de frações parciais e em seguida calcule as integrais.
\int \frac{2 x^{3}-4 x^{2}-x-3}{x^{2}-2 x-3} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int \frac{2x^{3}-4x^{2}-x-3}{x^{2}-2x-3}\,dx
usando decomposição em frações parciais. Como o grau do numerador é maior que o do denominador, primeiro fazemos a divisão de polinômios para obter uma parte polinomial mais uma fração própria.

Passo 2

Dividindo 2x^{3}-4x^{2}-x-3 por x^{2}-2x-3:
  1. 2x^{3}\div x^{2}=2x. Multiplicando 2x\,(x^{2}-2x-3)=2x^{3}-4x^{2}-6x.
  2. Subtraindo, o resto é
(2x^{3}-4x^{2}-x-3)-(2x^{3}-4x^{2}-6x)=5x-3.
Logo
\frac{2x^{3}-4x^{2}-x-3}{x^{2}-2x-3} =2x+\frac{5x-3}{x^{2}-2x-3}.

Passo 3

O denominador fatorado é x^{2}-2x-3=(x-3)(x+1)\). Escrevemos \[\frac{5x-3}{(x-3)(x+1)} =\frac{A}{x-3}+\frac{B}{x+1}.
Então
5x-3=A(x+1)+B(x-3)=(A+B)x+(A-3B).
Comparando coeficientes:
\begin{cases} A+B=5,\\\ A-3B=-3, \end{cases}
daí B=2\] e \(A=3. Portanto
\frac{5x-3}{x^{2}-2x-3} =\frac{3}{x-3}+\frac{2}{x+1}.

Passo 4

Substituindo na integral:
\int\frac{2x^{3}-4x^{2}-x-3}{x^{2}-2x-3}\,dx =\int\Bigl(2x+\frac{3}{x-3}+\frac{2}{x+1}\Bigr)\,dx.
Integramos termo a termo:
\int 2x\,dx=x^{2},\quad \int \frac{3}{x-3}\,dx=3\ln\bigl|x-3\bigr|,\quad \int \frac{2}{x+1}\,dx=2\ln\bigl|x+1\bigr|.

Resposta

x^{2}+3\ln\bigl|x-3\bigr|+2\ln\bigl|x+1\bigr|+C.

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