Exresse os integrandos como soma de frações parciais e em seguida calcule as integrais.
\int \frac{6 x+7}{(x+2)^{2}} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int \frac{6x+7}{(x+2)^{2}}\,dx
usando decomposição em frações parciais. O conteúdo é integração de funções racionais e precisamos escrever o integrando como soma de termos da forma \frac{A}{x+2} e \frac{B}{(x+2)^{2}}.

Passo 2

Assumimos a forma
\frac{6x+7}{(x+2)^{2}} =\frac{A}{x+2}+\frac{B}{(x+2)^{2}}.
Multiplicando ambos os lados por (x+2)^{2}, temos
6x+7 = A(x+2) + B = Ax + 2A + B.
Comparando coeficientes de x e termo constante:
- Coeficiente de x: A = 6.
- Termo constante: 2A + B = 7 implica 2\cdot6 + B = 7, logo B = -5.
Assim
\frac{6x+7}{(x+2)^{2}} = \frac{6}{x+2} - \frac{5}{(x+2)^{2}}.

Passo 3

Integramos cada parcela separadamente:
\int \frac{6}{x+2}\,dx = 6 \ln\bigl|x+2\bigr| + C_{1},
\int -\frac{5}{(x+2)^{2}}\,dx = -5 \int (x+2)^{-2}\,dx = -5 \cdot \frac{(x+2)^{-1}}{-1} + C_{2} = \frac{5}{x+2} + C_{2}.
Somando as integrais e absorvendo C_{1}+C_{2} em C, obtemos
\int \frac{6x+7}{(x+2)^{2}}\,dx = 6 \ln\bigl|x+2\bigr| + \frac{5}{x+2} + C.

Resposta

6 \ln\bigl|x+2\bigr| + \frac{5}{x+2} + C.

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