Exresse as séries abaixo através de um somatório. Então, inspirados nas séries de Mclaurin conhecidas das quatro funções elementares MAIS DISCUTIDAS em sala de aula, verifique para quais valores S as séries dadas convergem. JUSTIFIQUE. OBS. Cada uma das séries abaixo é o valor de uma série conhecida avaliada num ponto específico.
S=\frac{1}{3}+\frac{1}{9 \cdot 2!}+\frac{1}{27 \cdot 3!}+\frac{1}{81 \cdot 4!}+\ldots.

Passo 1

O enunciado dá a série
S=\frac{1}{3}+\frac{1}{9\cdot 2!}+\frac{1}{27\cdot 3!}+\frac{1}{81\cdot 4!}+\ldots
e pede duas coisas: (a) expressar essa série por um somatório; (b) inspirado nas séries de Maclaurin das funções elementares mais discutidas em aula, verificar para quais valores a série converge e justificar.
Informações relevantes fornecidas: os termos apresentam potências de 3 no denominador e fatoriais crescendo ( 2!,3!,4!,\dots); o primeiro termo corresponde a potência 3^{-1} com 1! ausente (ou seja, começa em n=1).

Passo 2

Vamos identificar o padrão de cada termo e escrever a fórmula geral do n-ésimo termo. Observando os termos:
\frac{1}{3}=\frac{1}{3^1\cdot 1!},\qquad \frac{1}{9\cdot 2!}=\frac{1}{3^2\cdot 2!},\qquad \frac{1}{27\cdot 3!}=\frac{1}{3^3\cdot 3!},\\ \ldots
portanto o n-ésimo termo (para n\ge 1) é
a_n=\frac{1}{3^n\;n!}.
Logo a série pode ser escrita como somatório:
S=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{3^n\,n!}.

Passo 3

Agora identificamos essa soma com uma série de Maclaurin conhecida. Lembre que a série de Maclaurin (série de Taylor centrada em 0) da função exponencial é
e^{x}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{n}}{n!}.
Explicando por que: as derivadas de e^x são todas e^x, avaliadas em x=0 dão 1, e a fórmula da série de Taylor centrada em 0 dá o termo geral \dfrac{x^n}{n!}. Aqui cada símbolo significa: x é o ponto onde avaliamos a função (variável), n! é o fatorial de n e a soma vai de n=0 até infinito.

Passo 4

Compare a nossa série com a série de e^x. Se tomarmos x=\dfrac{1}{3}, a série de e^{x} vira
e^{1/3}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(1/3)^{n}}{n!}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{3^{n}\,n!}.
A nossa série começa em n=1, não em n=0. O termo de n=0 na série de e^{1/3} é \dfrac{1}{3^{0}\,0!}=1. Portanto
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{3^{n}\,n!}=e^{1/3}-1.
Assim, a soma pedida é S=e^{1/3}-1.

Passo 5

Agora justifique a convergência da série. Podemos usar o teste da razão (ratio test) para a série geral \sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{x^{n}}{n!}. Seja a_n=\dfrac{x^{n}}{n!}. Então
\frac{|a_{n+1}|}{|a_n|}=\frac{|x|^{n+1}/(n+1)!}{|x|^{n}/n!}=\frac{|x|}{n+1}.
Ao tomar n\to\infty obtemos
\lim_{n\to\infty}\frac{|a_{n+1}|}{|a_n|}=0.
Como o limite é 0<1, a série converge absolutamente para todo x\in\mathbb{R} (e até para todo x\in\mathbb{C}). Em particular, para x=\dfrac{1}{3} a série converge, e seu valor é e^{1/3}-1. Esse resultado também mostra que a série de e^x tem raio de convergência infinito.

Passo 6

Breve panorama didático das quatro séries de Maclaurin mais usadas (útil para a prova):
e^{x}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{n}}{n!}\quad\text{(converge para todo }x\text{)},
\sin x=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}\quad\text{(converge para todo }x\text{)},
\cos x=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\frac{x^{2n}}{(2n)!}\quad\text{(converge para todo }x\text{)},
\frac{1}{1-x}=\sum_{n=0}^{\infty}x^{n}\quad\text{(converge para }|x|<1\text{)}.
Dica prática: ao ver termos do tipo \dfrac{x^{n}}{n!} já deve saltar à vista a série de e^{x}. Ao ver potências apenas \dfrac{x^{n}}{} sem fator n!, pense na geométrica \dfrac{1}{1-x}. Para funções trigonométricas, repare em alternâncias de sinal e em potências pares/ímpares com fatoriais correspondentes.

Passo 7

Resumo final e checagem: escrevemos a série como somatório, identificamos com a série de e^{x} em x=\dfrac{1}{3}, usamos o teste da razão (ou conhecimento do raio de convergência infinito de e^x) para justificar convergência e subtraímos o termo n=0 para obter a soma.

Resposta

S=e^{1/3}-1

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