Exresse as séries abaixo através de um somatório. Então, inspirados nas séries de Mclaurin conhecidas das quatro funções elementares MAIS DISCUTIDAS em sala de aula, verifique para quais valores
as séries dadas convergem. JUSTIFIQUE. OBS. Cada uma das séries abaixo é o valor de uma série conhecida avaliada num ponto específico.
.
Passo 1
O enunciado dá a série
e pede duas coisas: (a) expressar essa série por um somatório; (b) inspirado nas séries de Maclaurin das funções elementares mais discutidas em aula, verificar para quais valores a série converge e justificar.
Informações relevantes fornecidas: os termos apresentam potências de no denominador e fatoriais crescendo (
); o primeiro termo corresponde a potência
com
ausente (ou seja, começa em
).
Informações relevantes fornecidas: os termos apresentam potências de
Passo 2
Vamos identificar o padrão de cada termo e escrever a fórmula geral do
-ésimo termo. Observando os termos:
portanto o
-ésimo termo (para
) é
Logo a série pode ser escrita como somatório:
Passo 3
Agora identificamos essa soma com uma série de Maclaurin conhecida. Lembre que a série de Maclaurin (série de Taylor centrada em 0) da função exponencial é
Explicando por que: as derivadas de
são todas
, avaliadas em
dão
, e a fórmula da série de Taylor centrada em 0 dá o termo geral
. Aqui cada símbolo significa:
é o ponto onde avaliamos a função (variável),
é o fatorial de
e a soma vai de
até infinito.
Passo 4
Compare a nossa série com a série de
. Se tomarmos
, a série de
vira
A nossa série começa em
, não em
. O termo de
na série de
é
. Portanto
Assim, a soma pedida é
.
Passo 5
Agora justifique a convergência da série. Podemos usar o teste da razão (ratio test) para a série geral
. Seja
. Então
Ao tomar
obtemos
Como o limite é
, a série converge absolutamente para todo
(e até para todo
). Em particular, para
a série converge, e seu valor é
. Esse resultado também mostra que a série de
tem raio de convergência infinito.
Passo 6
Breve panorama didático das quatro séries de Maclaurin mais usadas (útil para a prova):
Dica prática: ao ver termos do tipo
já deve saltar à vista a série de
. Ao ver potências apenas
sem fator
, pense na geométrica
. Para funções trigonométricas, repare em alternâncias de sinal e em potências pares/ímpares com fatoriais correspondentes.
Passo 7
Resumo final e checagem: escrevemos a série como somatório, identificamos com a série de
em
, usamos o teste da razão (ou conhecimento do raio de convergência infinito de
) para justificar convergência e subtraímos o termo
para obter a soma.