Suponha que a série
convirja e que
divirja. O que pode ser dito sobre a convergência ou divergência das seguintes séries
Passo 1
O enunciado dá duas informações sobre a mesma sequência
e pede o que acontece com
. As informações são:
- A série
converge. - A série
diverge.
A pergunta é: qual é o comportamento (convergência ou divergência) da série?
Passo 2
Vou introduzir uma ferramenta padrão e muito útil para séries do tipo
: o número
Explicando devagar: para cada
você calcula
; o
pega o limite superior assintótico dessa sequência. Esse
resume a taxa exponencial de decaimento (ou crescimento) de
. Duas propriedades importantes:
- Se
então converge absolutamente (root test). - Se
então diverge porque os termos não tendem a zero. - Se
o teste é inconclusivo e cada caso precisa de análise fina — mas aqui usaremos apenas desigualdades que saem das hipóteses.
Passo 3
Usando a convergência de
. Um requisito necessário para qualquer série convergente é que o termo geral tenda a zero. Logo
o que implica que
em módulo. Pelo comportamento assintótico expresso por
, temos
Se
então
e os termos
não poderiam tender a zero, contradizendo a convergência. Portanto necessariamente
Passo 4
Agora a partir da divergência de
. Se fosse
então
e, pelo root test,
convergiria absolutamente — contradição com a hipótese. Logo não pode ser
; temos
Passo 5
Das desigualdades obtidas em
(passos anteriores) juntamos
Isto significa que
está num intervalo fechado entre
e
.
Passo 6
Agora analisamos
. Novamente
Pelo intervalo de
temos
Como
, o root test diz que a série
diverge. (Mais elementar: se a razão assintótica das potências é maior que
então os termos não tendem a zero, logo a série não pode convergir.)
Resposta
A série
diverge.