Suponha que a série \sum(-1)^{n} a_{n} 4^{n} convirja e que \sum a_{n} 6^{n} divirja. O que pode ser dito sobre a convergência ou divergência das seguintes séries
\quad \sum a_{n} 8^{n}

Passo 1

O enunciado dá duas informações sobre a mesma sequência (a_n) e pede o que acontece com \sum a_{n}8^{n}. As informações são:
  • A série \sum (-1)^{n} a_{n}4^{n} converge.
  • A série \sum a_{n}6^{n} diverge.
    A pergunta é: qual é o comportamento (convergência ou divergência) da série \sum a_{n}8^{n}?

Passo 2

Vou introduzir uma ferramenta padrão e muito útil para séries do tipo \sum a_n r^n: o número
L=\limsup_{n\to\infty} |a_n|^{1/n}.
Explicando devagar: para cada n você calcula |a_n|^{1/n}; o \limsup pega o limite superior assintótico dessa sequência. Esse L resume a taxa exponencial de decaimento (ou crescimento) de |a_n|. Duas propriedades importantes:
  • Se L<\frac{1}{r} então \sum a_n r^n converge absolutamente (root test).
  • Se L>\frac{1}{r} então \sum a_n r^n diverge porque os termos não tendem a zero.
  • Se L=\frac{1}{r} o teste é inconclusivo e cada caso precisa de análise fina — mas aqui usaremos apenas desigualdades que saem das hipóteses.

Passo 3

Usando a convergência de \sum (-1)^{n} a_{n}4^{n}. Um requisito necessário para qualquer série convergente é que o termo geral tenda a zero. Logo
\lim_{n\to\infty} (-1)^n a_n 4^n = 0,
o que implica que \lim_{n\to\infty} a_n 4^n = 0 em módulo. Pelo comportamento assintótico expresso por L, temos
\limsup_{n\to\infty} |a_n 4^n|^{1/n} = 4L.
Se 4L>1 então \limsup |a_n4^n|^{1/n}>1 e os termos |a_n4^n| não poderiam tender a zero, contradizendo a convergência. Portanto necessariamente
4L \le 1.

Passo 4

Agora a partir da divergência de \sum a_n 6^n. Se fosse 6L<1 então \limsup |a_n6^n|^{1/n}=6L<1 e, pelo root test, \sum a_n6^n convergiria absolutamente — contradição com a hipótese. Logo não pode ser 6L<1; temos
6L \ge 1.

Passo 5

Das desigualdades obtidas em (passos anteriores) juntamos
\frac{1}{6}\le L \le \frac{1}{4}.
Isto significa que L está num intervalo fechado entre \tfrac{1}{6} e \tfrac{1}{4}.

Passo 6

Agora analisamos \sum a_n 8^n. Novamente
\limsup_{n\to\infty} |a_n 8^n|^{1/n} = 8L.
Pelo intervalo de L temos
8L \ge 8\cdot\frac{1}{6}=\frac{4}{3}>1.
Como \limsup |a_n8^n|^{1/n}>1, o root test diz que a série \sum a_n8^n diverge. (Mais elementar: se a razão assintótica das potências é maior que 1 então os termos não tendem a zero, logo a série não pode convergir.)

Resposta

A série \sum a_{n}8^{n} diverge.

Exercícios relacionados