1. Se f e g são funções de \mathbb{R} em \mathbb{R} dadas pelas leis f(x)=x^{3} e g(x)=x+1, obtenha as leis que definem as compostas: g \circ f, f \circ g, f \circ f \in g \circ g.

Passo 1

O enunciado dá duas funções de ℝ em ℝ:
f(x)=x^{3},
g(x)=x+1.
Queremos encontrar as funções compostas \bigl(g\circ f\bigr), \bigl(f\circ g\bigr), \bigl(f\circ f\bigr) e \bigl(g\circ g\bigr). Usaremos a definição de composição:
(h\circ k)(x)=h\bigl(k(x)\bigr).

Passo 2

Para \displaystyle g\circ f, aplicamos primeiro f e depois g:
(g\circ f)(x)=g\bigl(f(x)\bigr)=g\bigl(x^{3}\bigr)=x^{3}+1.

Passo 3

Para \displaystyle f\circ g, aplicamos primeiro g e depois f:
(f\circ g)(x)=f\bigl(g(x)\bigr)=f\bigl(x+1\bigr)=(x+1)^{3}=x^{3}+3x^{2}+3x+1.

Passo 4

Para \displaystyle f\circ f, aplicamos f duas vezes:
(f\circ f)(x)=f\bigl(f(x)\bigr)=f\bigl(x^{3}\bigr)=(x^{3})^{3}=x^{9}.

Passo 5

Para \displaystyle g\circ g, aplicamos g duas vezes:
(g\circ g)(x)=g\bigl(g(x)\bigr)=g\bigl(x+1\bigr)=(x+1)+1=x+2.

Resposta

(g∘f)(x)= x^{3} +1
(f∘g)(x)=(x +1) ^{3}= x^{3} +3 x^{2} +3x +1
(f∘f)(x)= x^{9}
(g∘g)(x)=x +2

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