Se f e g são invertíveis então:
f \cdot g é invertível?

Passo 1

O enunciado diz: “Se f e g são invertíveis, então f\cdot g é invertível?” Aqui o “ \cdot” representa composição de funções. O tema é invertibilidade e composição: para resolver, vamos usar a definição de função inversa e as propriedades de composição.

Passo 2

Suponha que
g\colon A \to B \quad\text{e}\quad f\colon B \to C
são invertíveis, com inversas
\;g^{-1}\colon B\to A; e \;f^{-1}\colon C\to B.
Então a composição
f\circ g\colon A\to C
é bem definida. Vamos mostrar que sua inversa é
h \;=\; g^{-1}\circ f^{-1}\colon C\to A.

Passo 3

Verificamos primeiro que
h\circ(f\circ g) \;=\; \bigl(g^{-1}\circ f^{-1}\bigr)\circ(f\circ g) \;=\; g^{-1}\circ\bigl(f^{-1}\circ f\bigr)\circ g \;=\; g^{-1}\circ \mathrm{id}_{B}\circ g \;=\; g^{-1}\circ g \;=\; \mathrm{id}_{A}.

Passo 4

Agora conferimos a outra composta:
(f\circ g)\circ h \;=\; (f\circ g)\circ\bigl(g^{-1}\circ f^{-1}\bigr) \;=\; f\circ\bigl(g\circ g^{-1}\bigr)\circ f^{-1} \;=\; f\circ \mathrm{id}_{B}\circ f^{-1} \;=\; f\circ f^{-1} \;=\; \mathrm{id}_{C}.

Resposta

Sim. A função f\circ g é invertível e
(f\circ g)^{-1} \;=\; g^{-1}\circ f^{-1}.

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