(f) lim x pi2+ tg(x)

Passo 1

Vamos resolver o limite . Esse exercício envolve o estudo dos limites de funções trigonométricas, especificamente a função tangente. Para resolver, vamos precisar entender como o gráfico da tangente se comporta perto de e utilizar propriedades dos limites.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a função tangente é definida como . Isso significa que o comportamento de depende dos valores de e conforme se aproxima de .

Passo 3

Vamos analisar o que acontece com e quando se aproxima de pelo lado direito ( ).
  • , e conforme se aproxima de , permanece próximo de 1.
  • , mas precisamos ver o sinal de quando está um pouco maior que .

Passo 4

Quando está um pouco maior que , estamos no segundo quadrante do círculo trigonométrico. Nesse quadrante, o cosseno é negativo. Ou seja, é um número negativo próximo de zero.

Passo 5

Agora, substituindo esses comportamentos na expressão da tangente:
tan(x) = sin(x)cos(x) approx 1número negativo muito pequeno ú
Como estamos dividindo 1 por um número negativo que se aproxima de zero, o resultado da divisão tende a .

Resposta

lim x pi2+ tan(x) = -infty

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