É verdadeiro ou falso?
Se
está definido e converge para
, então
para
.
Se
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma série infinita que envolve derivadas de uma função
em torno de um ponto
. A matéria aqui é sobre Séries de Taylor, que são usadas para aproximar funções. Para resolver, vamos precisar entender como as séries de Taylor funcionam e quando elas realmente representam a função original.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma série de Taylor. É uma soma infinita que tenta representar uma função
usando suas derivadas no ponto
:
Aqui,
é a
-ésima derivada de
em
, e
é o fatorial de
.
Passo 3
A questão diz que essa série está definida e converge para
. A pergunta é: isso garante que
é igual a essa série nesse intervalo?
Passo 4
Nem sempre! Mesmo que a série de Taylor convirja, isso não significa necessariamente que ela representa a função
em todo o intervalo de convergência. Para que a igualdade
série de Taylor seja verdadeira, a função precisa ser analítica no ponto
, ou seja, ela deve ser igual à sua série de Taylor nesse intervalo.
Passo 5
Há funções que são infinitamente diferenciáveis (suaves) em
e têm uma série de Taylor que converge, mas que não são iguais à série no intervalo de convergência. Um exemplo clássico é a função
para
e
. Todas as derivadas em 0 são zero, então a série de Taylor é simplesmente
, mas a função não é igual a zero perto de
.
Resposta
Falso.