É verdadeiro ou falso?
Se sumn=0^+infty f^(n)(a)n!(x-a)^n está definido e converge para |x-a|, então f(x)=sumn=0^+infty f^(n)(a)n!(x-a)^n para |x-a|.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma série infinita que envolve derivadas de uma função em torno de um ponto . A matéria aqui é sobre Séries de Taylor, que são usadas para aproximar funções. Para resolver, vamos precisar entender como as séries de Taylor funcionam e quando elas realmente representam a função original.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma série de Taylor. É uma soma infinita que tenta representar uma função sumn=0^+infty f^(n)(a)n!(x-a)^n usando suas derivadas no ponto :
Aqui, é a -ésima derivada de em , e é o fatorial de .

Passo 3

A questão diz que essa série está definida e converge para . A pergunta é: isso garante que é igual a essa série nesse intervalo?

Passo 4

Nem sempre! Mesmo que a série de Taylor convirja, isso não significa necessariamente que ela representa a função em todo o intervalo de convergência. Para que a igualdade série de Taylor seja verdadeira, a função precisa ser analítica no ponto , ou seja, ela deve ser igual à sua série de Taylor nesse intervalo.

Passo 5

Há funções que são infinitamente diferenciáveis (suaves) em e têm uma série de Taylor que converge, mas que não são iguais à série no intervalo de convergência. Um exemplo clássico é a função para e . Todas as derivadas em 0 são zero, então a série de Taylor é simplesmente , mas a função não é igual a zero perto de .

Resposta

Falso.

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