- Se
satisfaz
, mostre que existe
tal que
.
Passo 1
O enunciado diz que temos uma função
que satisfaz, para todo
,
O conteúdo aqui é resolução de uma equação diferencial de primeira ordem separável. Nosso objetivo é mostrar que existe uma constante
tal que
Passo 2
Sempre que
, podemos dividir a igualdade dada por
. Isso nos leva a
O lado esquerdo
é justamente a derivada de
. Logo,
Passo 3
Definimos a função
Calculando a derivada de
,
Como
para todo
, concluímos que
é constante. Ou seja, existe uma constante
tal que
Passo 4
Reescrevendo a igualdade do passo anterior, temos
Aplicando a exponenciação em ambos os lados obtemos
Como
, podemos chamar
(incluindo o caso
que dá
). Assim
Resposta
Existe constante
tal que