1. Seja f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} uma função derivável e suponha que exista uma constante k tal que f^{\prime}(x)= k f(x), \forall x. Derive o quociente f / e^{k x} e deduza que existe uma constante C tal que f(x)=C e^{k x}.

Passo 1

O enunciado diz que temos uma função derivável f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} satisfazendo
f'(x)=k\,f(x)
para todo x, onde k é constante. O objetivo é usar a regra do quociente para calcular a derivada de
\frac{f(x)}{e^{k x}}
e mostrar que esse quociente é constante. A partir daí, concluir que existe uma constante C tal que f(x)=C\,e^{k x}.

Passo 2

Aplicamos a regra do quociente para \displaystyle g(x)=\frac{f(x)}{e^{k x}}.
Temos
g'(x) =\frac{f'(x)\,e^{k x}-f(x)\,\bigl(e^{k x}\bigr)'}{\bigl(e^{k x}\bigr)^2}.
Como \bigl(e^{k x}\bigr)'=k\,e^{k x}, substituímos e obtemos
g'(x) =\frac{f'(x)\,e^{k x}-f(x)\,k\,e^{k x}}{e^{2k x}} =\frac{e^{k x}\bigl(f'(x)-k\,f(x)\bigr)}{e^{2k x}}.

Passo 3

Pela hipótese f'(x)=k\,f(x), o numerador vira zero:
f'(x)-k\,f(x)=0.
Logo
g'(x)=0
para todo x. Isso significa que g(x)=\tfrac{f(x)}{e^{k x}} é constante. Chamemos essa constante de C.

Passo 4

Como \tfrac{f(x)}{e^{k x}}=C, multiplicando por e^{k x} vem
f(x)=C\,e^{k x}.

Resposta

Existe uma constante C tal que
f(x)=C\,e^{k x}.

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