Para a f(x) dada, expresse cada um dos seguintes limites como \infty,-\infty ou \nexists (não existe).
a) \lim _{x \rightarrow a^{+}} f(x)
b) \lim _{x \rightarrow a^{-}} f(x)
c) \lim _{x \rightarrow a} f(x)
f(x)=\frac{8}{(2 x+5)^{3}} \quad a=-\frac{5}{2}

Passo 1

O enunciado nos dá:
  • A função f(x)=\dfrac{8}{(2x+5)^{3}}.
  • O ponto a=-\dfrac{5}{2}.
    O que é pedido:
    a) \displaystyle \lim_{x\to a^{+}} f(x)
    b) \displaystyle \lim_{x\to a^{-}} f(x)
    c) \displaystyle \lim_{x\to a} f(x)
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
  • O denominador (2x+5)^{3} anula-se em x=a, portanto f não está definida em x=a e há comportamento de tipo assíntota vertical em x=a.

Passo 2

Vamos simplificar a expressão perto de x=a. Note que
2x+5 = 2\!\left(x+\frac{5}{2}\right)=2(x-a),
porque a=-\dfrac{5}{2}. Então
(2x+5)^{3} = \bigl(2(x-a)\bigr)^{3} = 8(x-a)^{3}.
Substituindo na definição de f:
f(x)=\frac{8}{(2x+5)^{3}}=\frac{8}{8(x-a)^{3}}=\frac{1}{(x-a)^{3}}.
Portanto, analisar f(x) quando x\to a é equivalente a analisar \dfrac{1}{(x-a)^{3}} quando x\to a.

Passo 3

Entendendo o comportamento de \dfrac{1}{(x-a)^{3}} perto de x=a:
  • Se x\to a^{+}, então x-a>0 e muito pequeno. Como a função t\mapsto t^{3} preserva o sinal, (x-a)^{3} é um número positivo muito pequeno. Logo \dfrac{1}{(x-a)^{3}} é um número positivo muito grande, isto é, tende a +\infty.
    • Exemplo numérico ilustrativo: se x-a=0,1 então (x-a)^{3}=0,001 e \dfrac{1}{(x-a)^{3}}=1000, grande e positivo.
  • Se x\to a^{-}, então x-a<0 e muito próximo de zero. Então (x-a)^{3} é negativo e de pequena magnitude, e \dfrac{1}{(x-a)^{3}} é um número negativo com grande magnitude, isto é, tende a -\infty.
    • Exemplo numérico ilustrativo: se x-a=-0,1 então (x-a)^{3}=-0,001 e \dfrac{1}{(x-a)^{3}}=-1000.

Passo 4

Conclusões a partir da análise:
  • A partir da direita o valor diverge para +\infty.
  • A partir da esquerda o valor diverge para -\infty.
    Como os limites laterais são diferentes, o limite bilateral \displaystyle \lim_{x\to a} f(x) não existe. (Mesmo se ambos fossem infinitos mas com sinais diferentes, dizemos \nexists.)

Resposta

a) \infty
b) -\infty
c) \nexists

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