f(x, y)=x^4 y^2-2 x y^5 fx x, fy y, fx y, fy x

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(x,y)=x^4y^2-2xy^5
e pede as derivadas parciais de segunda ordem ,fxx,fyy,fxy,fyx. Vamos usar a definição de derivada parcial e a regra de potência, tratando sempre a outra variável como constante.

Passo 2

Calcular a derivada parcial de f em relação a x, mantendo y constante.
fx = partialpartial xl(x^4y^2-2xy^5r) =4x^3y^2-2y^5

Passo 3

Calcular a derivada parcial de f em relação a y, mantendo x constante.
fy = partialpartial yl(x^4y^2-2xy^5r) =2x^4y-10xy^4

Passo 4

A partir de fx obtemos as segundas derivadas que envolvem x:
fxx = partialpartial xl(4x^3y^2-2y^5r) =12x^2y^2,
fxy = partialpartial yl(4x^3y^2-2y^5r) =8x^3y-10y^4

Passo 5

A partir de fy obtemos as segundas derivadas que envolvem y:
fyy = partialpartial yl(2x^4y-10xy^4r) =2x^4-40xy^3,
fyx = partialpartial xl(2x^4y-10xy^4r) =8x^3y-10y^4

Resposta

fxx=12x^2y^2
fyy=2x^4-40xy^3
fxy=8x^3y-10y^4
fyx=8x^3y-10y^4

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