Para f(x, y, z) = x^2 + y^2 - 4 x z, determine a direção em que a taxa de variação no ponto P = (3, 1, -2) seja máxima e calcule esta taxa.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para a gente encontrar a direção em que a taxa de variação da função no ponto é máxima, além de calcular essa taxa.
Isso está relacionado ao conceito de gradiente em cálculo multivariado. O gradiente nos dá a direção de máxima inclinação de uma função em um ponto específico. Para resolver isso, vamos precisar calcular o gradiente da função no ponto dado e depois encontrar sua magnitude.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o gradiente de uma função é um vetor que contém todas as derivadas parciais dessa função em relação a cada uma das variáveis. Ou seja:
Então, vamos calcular as derivadas parciais de em relação a , e .

Passo 3

Calculando a derivada parcial de em relação a :
Agora, a derivada parcial em relação a :
E finalmente, a derivada parcial em relação a :

Passo 4

Agora que temos todas as derivadas parciais, podemos escrever o gradiente da função :

Passo 5

Vamos agora calcular o gradiente no ponto específico . Basta substituir , e nas expressões que encontramos:
Portanto, o gradiente no ponto é:

Passo 6

A direção de máxima taxa de variação é exatamente a direção do gradiente. Mas, para expressar isso como um vetor de direção, precisamos normalizar o gradiente, ou seja, transformá-lo em um vetor unitário (com magnitude igual a 1).
Primeiro, vamos calcular a magnitude do gradiente :

Passo 7

Agora, vamos normalizar o gradiente dividindo cada componente pela sua magnitude:
çãáçã

Passo 8

Finalmente, para encontrar a taxa máxima de variação, basta calcular a magnitude do gradiente, que já encontramos como .

Resposta

A direção em que a taxa de variação da função no ponto é máxima é dada pelo vetor unitário:
E a taxa máxima de variação nessa direção é .

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