Para
, determine a direção em que a taxa de variação no ponto
seja máxima e calcule esta taxa.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para a gente encontrar a direção em que a taxa de variação da função
no ponto
é máxima, além de calcular essa taxa.
Isso está relacionado ao conceito de gradiente em cálculo multivariado. O gradiente nos dá a direção de máxima inclinação de uma função em um ponto específico. Para resolver isso, vamos precisar calcular o gradiente da função no ponto dado e depois encontrar sua magnitude.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o gradiente de uma função
é um vetor que contém todas as derivadas parciais dessa função em relação a cada uma das variáveis. Ou seja:
Então, vamos calcular as derivadas parciais de
em relação a
,
e
.
Passo 3
Calculando a derivada parcial de
em relação a
:
Agora, a derivada parcial em relação a
:
E finalmente, a derivada parcial em relação a
:
Passo 4
Agora que temos todas as derivadas parciais, podemos escrever o gradiente da função
:
Passo 5
Vamos agora calcular o gradiente no ponto específico
. Basta substituir
,
e
nas expressões que encontramos:
Portanto, o gradiente no ponto
é:
Passo 6
A direção de máxima taxa de variação é exatamente a direção do gradiente. Mas, para expressar isso como um vetor de direção, precisamos normalizar o gradiente, ou seja, transformá-lo em um vetor unitário (com magnitude igual a 1).
Primeiro, vamos calcular a magnitude do gradiente
:
Passo 7
Agora, vamos normalizar o gradiente dividindo cada componente pela sua magnitude:
Passo 8
Finalmente, para encontrar a taxa máxima de variação, basta calcular a magnitude do gradiente, que já encontramos como
.
Resposta
A direção em que a taxa de variação da função
no ponto
é máxima é dada pelo vetor unitário:
E a taxa máxima de variação nessa direção é
.