Determine o polinômio de Taylor de ordem 3, no ponto
e
da função
.
Passo 1
Então, a gente tem que encontrar o polinômio de Taylor de ordem 3 para a função
em dois pontos diferentes:
e
. Isso envolve entender o que é um polinômio de Taylor e como calculamos seus termos usando derivadas da função. Vamos precisar calcular as derivadas de
até a terceira ordem e avaliá-las nos pontos
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o polinômio de Taylor. É uma aproximação polinomial de uma função em torno de um ponto
. A fórmula geral do polinômio de Taylor de ordem 3 é:
Ou seja, a gente precisa calcular
,
,
e
.
Passo 3
Vamos começar calculando as derivadas de
:
Perceba que as derivadas alternam entre
e
.
Passo 4
Agora, vamos calcular os valores das derivadas nos pontos
e
.
Para
:
Para
:
Passo 5
Agora substituímos esses valores na fórmula do polinômio de Taylor.
Para
:
Para
:
Resposta
O polinômio de Taylor de ordem 3 para
é:
Para
:
Para
: