Determine o polinômio de Taylor de ordem 3, no ponto c = -1 e c = 2 da função f(x) = e^(-x).

Passo 1

Então, a gente tem que encontrar o polinômio de Taylor de ordem 3 para a função em dois pontos diferentes: e . Isso envolve entender o que é um polinômio de Taylor e como calculamos seus termos usando derivadas da função. Vamos precisar calcular as derivadas de até a terceira ordem e avaliá-las nos pontos e .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o polinômio de Taylor. É uma aproximação polinomial de uma função em torno de um ponto . A fórmula geral do polinômio de Taylor de ordem 3 é:
Ou seja, a gente precisa calcular , , e .

Passo 3

Vamos começar calculando as derivadas de :
Perceba que as derivadas alternam entre e .

Passo 4

Agora, vamos calcular os valores das derivadas nos pontos e .
Para :
Para :

Passo 5

Agora substituímos esses valores na fórmula do polinômio de Taylor.
Para :
Para :

Resposta

O polinômio de Taylor de ordem 3 para é:
Para :
Para :

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