Uma fábrica de componentes eletrônicos pode contratar horas de trabalho ( L ) e horas-máquina ( K ). O custo por unidade de trabalho é w=2 e o custo por unidade de capital é r=4. Com orçamento de C=100, a firma enfrenta a seguinte restrição de isocusto:
C=w L+r K
(a) Escreva a equação da reta de isocusto no espaço ( K, L ) e trace-a graficamente.
(b) Calcule os interceptos dessa reta nos eixos K e L.
(c) Discuta como uma variação no salário w altera a inclinação da reta de isocusto.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
Dados fornecidos:
Orçamento: C=100.
Custo por unidade de trabalho: w=2.
Custo por unidade de capital: r=4.
Restrição de isocusto: C = w L + r K
Perguntas:
(a) Escrever a equação da reta de isocusto no plano (K,L) e desenhá-la graficamente.
(b) Calcular os interceptos dessa reta nos eixos K e L.
(c) Discutir como uma variação em w altera a inclinação da reta de isocusto.
Passo 2
Vamos transformar a restrição de isocusto para isolar K, que é a forma usual da reta no plano (K,L).
Partimos de C = w L + r K.
Isolando K, dividimos ambos os lados por r:
K = \frac{C}{r} - \frac{w}{r}\,L.
Explicação didática: essa é a equação de uma reta do tipo K = a + b L, onde
a=\dfrac{C}{r} é o intercepto no eixo K (valor de K quando L=0),
b=-\dfrac{w}{r} é a inclinação (slope) da reta. A inclinação negativa mostra que, para gastar o mesmo orçamento, ao aumentar L é preciso reduzir K.
Passo 3
Agora substituímos os valores numéricos C=100, w=2, r=4 na expressão de K.
Interpretação numérica: a inclinação é -\tfrac{1}{2}. Isso significa que, se a firma contratar mais 1 unidade de trabalho (L aumenta em 1), terá que reduzir K em 0,5 unidades para manter o mesmo custo total.
Passo 4
Calcular os interceptos explicitamente.
Intercepto em K (quando L=0):
K\big|_{L=0} = 25.
Ou seja, ponto (L,K)=(0,25).
Intercepto em L (quando K=0):
Partindo de 0 = 25 - \tfrac{1}{2}\,L obtemos
\tfrac{1}{2}\,L = 25 \quad\Rightarrow\quad L = 50.
Ou seja, ponto (L,K)=(50,0).
Passo 5
Como traçar graficamente (passo a passo para desenhar rápido na prova):
Desenhe um sistema de eixos com L no eixo horizontal e K no vertical.
Marque o ponto L=0, K=25 (intercepto vertical).
Marque o ponto L=50, K=0 (intercepto horizontal).
Trace uma reta ligando esses dois pontos; essa é a reta de isocusto. A inclinação entre os pontos é -\tfrac{1}{2}.
Dica prática: pode-se verificar a inclinação contando passos: ao mover L de 0 para 2 (aumento de 2), K cai de 25 para 24 (queda de 1), consistente com a relação de troca w/r=\tfrac{1}{2}.
Passo 6
Discussão de como uma variação em w altera a inclinação da reta de isocusto.
A forma geral que obtivemos é
K = \frac{C}{r} - \frac{w}{r}\,L.
Portanto a inclinação é -\dfrac{w}{r}.
Consequências de alterar w (com C e r fixos):
O intercepto em K, \dfrac{C}{r}, não depende de w, então permanece igual.
O intercepto em L, \dfrac{C}{w}, depende inversamente de w: se w aumenta, \dfrac{C}{w} diminui; se w diminui, \dfrac{C}{w} aumenta.
Geometricamente: aumentar w faz a reta girar (rotacionar) em sentido horário em torno do intercepto em K (o ponto (0,\tfrac{C}{r})), tornando a reta mais inclinada para baixo (valor absoluto da inclinação cresce). Diminuir w faz o oposto (rotaciona no sentido anti-horário, reta fica mais “plana”).
Exemplos numéricos rápidos:
Se w dobra para w=4: inclinação passa a -\dfrac{4}{4}=-1 e intercepto em L passa a \dfrac{100}{4}=25. A reta fica mais íngreme.
Se w cai para w=1: inclinação passa a -\dfrac{1}{4}=-0,25 e intercepto em L passa a \dfrac{100}{1}=100. A reta fica mais rasa.
Interpretação econômica intuitiva: quanto mais caro é o trabalho (w maior), menos trabalho a firma pode contratar com o mesmo orçamento, então a possibilidade de L diminui e a troca entre L e K (medida pela inclinação \tfrac{w}{r}) torna-se mais desfavorável ao trabalho.
Passo 7
Resumo final e como responder rapidamente na prova:
Escrever K = \dfrac{C}{r} - \dfrac{w}{r}L, substituir valores e calcular interceptos.
Para discutir efeito de w, identifique a inclinação -\dfrac{w}{r} e explique impacto no intercepto em L e na rotação da reta.
Resposta
(a) \displaystyle K = 25 - \tfrac{1}{2}\,L.
(b) Interceptos: K-intercepto \;K=25 (em L=0); L-intercepto \;L=50 (em K=0).
(c) A inclinação é -\dfrac{w}{r}. Aumentar w torna a reta mais íngreme (mais negativa), reduzindo o intercepto em L e fazendo a reta girar em sentido horário em torno de \bigl(0,\tfrac{C}{r}\bigr); diminuir w faz o oposto.