Uma linha de montagem de motores precisa de blocos metálicos (
) e conjuntos de pistões
. O processo produtivo exige os dois insumos em proporções fixas, sendo descrito por
(a) Represente graficamente a isoquanta correspondente a
motores.
(b) Explique por que, neste caso, não existe substituição entre os fatores de produção.
(c) Compare com uma tecnologia Cobb?Douglas em termos de flexibilidade de substituição.
(b) Explique por que, neste caso, não existe substituição entre os fatores de produção.
(c) Compare com uma tecnologia Cobb?Douglas em termos de flexibilidade de substituição.
Passo 1
O enunciado dá a função de produção em forma de mínimo:
Pede três coisas:
- (a) representar graficamente a isoquanta para
; - (b) explicar por que, nesse caso, não existe substituição entre os fatores de produção;
- (c) comparar essa tecnologia com uma tecnologia Cobb–Douglas em termos de flexibilidade de substituição.
Informações relevantes que temos:
- As variáveis são
(blocos metálicos) e (conjuntos de pistões). - A isoquanta é o conjunto de pares
que produzem exatamente , ou seja, . - Não há outras restrições dadas (assume-se
e ).
Passo 2
Descrever matematicamente e geometricamente a isoquanta
.
A condição
significa, por definição do mínimo, que ambos
e
devem ser pelo menos 10 e que pelo menos um deles é igual a 10. Em notação:
Interpretação geométrica (como desenho em papel):
- Eixo horizontal:
. - Eixo vertical:
. - Ponto especial (canto) em
. - A isoquanta é a união de dois segmentos-radiais: uma semi-reta horizontal saindo de
para a direita (todos os pontos com e ) e uma semi-reta vertical saindo de para cima (todos os pontos com e ). - Visualmente: um “L” ortogonal com o vértice em
.
Exemplo concreto para ajudar a visualizar: os pontos
e
pertencem à isoquanta
, porque
e
. O ponto
não pertence porque
.
Passo 3
Explicar, com cálculo simples, por que não há substituição entre fatores (intuição e derivada).
Intuição: a tecnologia exige as duas entradas em proporção fixa 1:1. Ter mais
sem
suficiente não aumenta
, e ter mais
sem
suficiente também não aumenta
. Não se pode compensar a falta de um fator pela abundância do outro.
Formalizando com derivadas e taxa marginal de substituição técnica (
):
- Em regiões onde
temos . Assim, quando ,
- Em regiões onde
temos . Assim, quando ,
- No ponto
a função tem um canto e não é diferenciável (os derivadas laterais existem mas não há derivada única).
A
é normalmente definida por
Para esta tecnologia:
- Se
então (ou seja, infinitas unidades de necessárias para compensar uma pequena perda de ; mais precisamente, não é possível reduzir sem afetar se não cair abaixo de ). - Se
então (não é possível reduzir trocando por ). - Em
a não está bem definida.
Conclusão técnica: a troca contínua entre
e
não existe. Em linguagem econômica: a elasticidade de substituição é zero — fatores são perfeitos complementos, usados estritamente em proporção fixa, logo não há substituição técnica possível. Na prática, aumentar
além do necessário é desperdício se
não for aumentado na mesma medida.
Passo 4
Comparação com Cobb–Douglas: definir Cobb–Douglas, calcular
e explicar a diferença em termos de flexibilidade.
Considere uma tecnologia Cobb–Douglas genérica (constantes positivas) escrita como
onde
é um fator de escala e
são elasticidades parciais de produção (medem a sensibilidade do produto a
e
, respectivamente).
Cálculo das produtividades marginais:
Portanto a
é
Interpretação:
- A
é finita e varia suavemente com a razão . Isso significa que, ao longo de uma isoquanta Cobb–Douglas, é possível substituir por (ou vice‑versa) de forma contínua: se reduzir , pode‑se aumentar para manter o mesmo . - Geometricamente, isoquantas Cobb–Douglas são curvas suaves e convexas ao longo (sem cantos), ao contrário do “L” das isoquantas Leontief.
Elasticidade de substituição (intuição simples):
- Para Cobb–Douglas a elasticidade de substituição é constante e igual a
. Isso quer dizer que uma variação percentual na implica uma variação percentual de mesma ordem (em módulo) na razão : há uma substituição razoavelmente flexível entre insumos. - Para Leontief (
) a elasticidade de substituição é : não há como ajustar a proporção sem perder produção, salvo movendo-se exatamente ao longo dos ramos do “L” (o que não altera a produção).
Passo 5
Exemplos numéricos para fixar a ideia (comparando as duas tecnologias).
Tomemos
.
-
Leontief (
). Para obter é preciso ter, no mínimo, 10 de cada fator e pelo menos um igual a 10. Exemplos válidos: . O par não serve: . -
Cobb–Douglas simples: escolha
, , então
Para
isso dá
. Assim
é perfeitamente aceitável porque
. Ou seja: reduzir
pode ser compensado aumentando
. Há flexibilidade.
Esses exemplos mostram concretamente a diferença: na Cobb–Douglas há substituição contínua; na tecnologia
só se atinge
mantendo a proporção 1:1 (ou sem desperdiçar).
Passo 6
Resumo curto e motivador (pra hora da prova).
- (a) A isoquanta
é um “L” com vértice em : união das semi‑retas e . - (b) Não há substituição porque fatores são perfeitos complementos: produtividade marginal de um fator é zero quando o outro é escasso (MRTS é
, ou indefinida), logo não é possível trocar um por outro mantendo . - (c) Cobb–Douglas tem isoquantas suaves e convexas,
finita e variável, e elasticidade de substituição igual a : é muito mais flexível — reduz‑se um fator e compensa‑se o outro continuamente, ao contrário do caso Leontief.
Vai dar certo! Se quiser, eu desenho (em ASCII) o “L” ou calculo
para um caso numérico de Cobb–Douglas passo a passo.
Resposta
(a) A isoquanta
é o conjunto
isto é, um “L” ortogonal com vértice em
.
(b) Não existe substituição porque a tecnologia usa fatores em proporção fixa: aumentar um fator sem aumentar o outro não eleva
. As derivadas mostram isso (
se
; e vice‑versa se
), logo a
é
,
ou indefinida — não há troca contínua entre
e
.
(c) Em contraste, uma tecnologia Cobb–Douglas
tem
, isoquantas suaves e convexas e elasticidade de substituição constante e igual a
: permite substituição contínua entre fatores e é muito mais flexível que a tecnologia
.