Uma linha de montagem de motores precisa de blocos metálicos ( K ) e conjuntos de pistões (L). O processo produtivo exige os dois insumos em proporções fixas, sendo descrito por
q=\min \{K, L\}
(a) Represente graficamente a isoquanta correspondente a q=10 motores.
(b) Explique por que, neste caso, não existe substituição entre os fatores de produção.
(c) Compare com uma tecnologia Cobb?Douglas em termos de flexibilidade de substituição.

Passo 1

O enunciado dá a função de produção em forma de mínimo:
q=\min\{K,L\}.
Pede três coisas:
  • (a) representar graficamente a isoquanta para q=10;
  • (b) explicar por que, nesse caso, não existe substituição entre os fatores de produção;
  • (c) comparar essa tecnologia com uma tecnologia Cobb–Douglas em termos de flexibilidade de substituição.
Informações relevantes que temos:
  • As variáveis são K (blocos metálicos) e L (conjuntos de pistões).
  • A isoquanta é o conjunto de pares (K,L) que produzem exatamente q=10, ou seja, \min\{K,L\}=10.
  • Não há outras restrições dadas (assume-se K\ge0 e L\ge0).

Passo 2

Descrever matematicamente e geometricamente a isoquanta q=10.
A condição \min\{K,L\}=10 significa, por definição do mínimo, que ambos K e L devem ser pelo menos 10 e que pelo menos um deles é igual a 10. Em notação:
\{(K,L)\mid \min\{K,L\}=10\}=\{(K,L)\mid K\ge10,\;L=10\}\\ \cup\\ \{(K,L)\mid K=10,\;L\ge10\}.
Interpretação geométrica (como desenho em papel):
  • Eixo horizontal: K.
  • Eixo vertical: L.
  • Ponto especial (canto) em (10,10).
  • A isoquanta é a união de dois segmentos-radiais: uma semi-reta horizontal saindo de (10,10) para a direita (todos os pontos com L=10 e K\ge10) e uma semi-reta vertical saindo de (10,10) para cima (todos os pontos com K=10 e L\ge10).
  • Visualmente: um “L” ortogonal com o vértice em (10,10).
Exemplo concreto para ajudar a visualizar: os pontos (15,10) e (10,20) pertencem à isoquanta q=10, porque \min\{15,10\}=10 e \min\{10,20\}=10. O ponto (15,5) não pertence porque \min\{15,5\}=5\neq10.

Passo 3

Explicar, com cálculo simples, por que não há substituição entre fatores (intuição e derivada).
Intuição: a tecnologia exige as duas entradas em proporção fixa 1:1. Ter mais K sem \,L suficiente não aumenta q, e ter mais L sem K suficiente também não aumenta q. Não se pode compensar a falta de um fator pela abundância do outro.
Formalizando com derivadas e taxa marginal de substituição técnica ( \text{MRTS}):
  • Em regiões onde K<L temos q=K. Assim, quando K<L,
\frac{\partial q}{\partial K}=1,\qquad \frac{\partial q}{\partial L}=0.
  • Em regiões onde K>L temos q=L. Assim, quando K>L,
\frac{\partial q}{\partial K}=0,\qquad \frac{\partial q}{\partial L}=1.
  • No ponto K=L a função tem um canto e não é diferenciável (os derivadas laterais existem mas não há derivada única).
A \text{MRTS} é normalmente definida por
\text{MRTS}_{K,L}=\frac{\partial q/\partial K}{\partial q/\partial L}.
Para esta tecnologia:
  • Se K<L então \text{MRTS}=\dfrac{1}{0}=\infty (ou seja, infinitas unidades de L necessárias para compensar uma pequena perda de K; mais precisamente, não é possível reduzir K sem afetar q se L não cair abaixo de K).
  • Se K>L então \text{MRTS}=0 (não é possível reduzir L trocando por K).
  • Em K=L a \text{MRTS} não está bem definida.
Conclusão técnica: a troca contínua entre K e L não existe. Em linguagem econômica: a elasticidade de substituição é zero — fatores são perfeitos complementos, usados estritamente em proporção fixa, logo não há substituição técnica possível. Na prática, aumentar K além do necessário é desperdício se L não for aumentado na mesma medida.

Passo 4

Comparação com Cobb–Douglas: definir Cobb–Douglas, calcular \text{MRTS} e explicar a diferença em termos de flexibilidade.
Considere uma tecnologia Cobb–Douglas genérica (constantes positivas) escrita como
q = A\,K^{\alpha}L^{\beta},
onde A>0 é um fator de escala e \alpha>0,\\ \beta>0 são elasticidades parciais de produção (medem a sensibilidade do produto a K e L, respectivamente).
Cálculo das produtividades marginais:
\frac{\partial q}{\partial K}=A\,\alpha\,K^{\alpha-1}L^{\beta}, \qquad \frac{\partial q}{\partial L}=A\,\beta\,K^{\alpha}L^{\beta-1}.
Portanto a \text{MRTS} é
\text{MRTS}_{K,L}=\frac{\partial q/\partial K}{\partial q/\partial L} =\frac{A\,\alpha\,K^{\alpha-1}L^{\beta}}{A\,\beta\,K^{\alpha}L^{\beta-1}} =\frac{\alpha}{\beta}\cdot\frac{L}{K}.
Interpretação:
  • A \text{MRTS} é finita e varia suavemente com a razão L/K. Isso significa que, ao longo de uma isoquanta Cobb–Douglas, é possível substituir K por L (ou vice‑versa) de forma contínua: se reduzir K, pode‑se aumentar L para manter o mesmo q.
  • Geometricamente, isoquantas Cobb–Douglas são curvas suaves e convexas ao longo (sem cantos), ao contrário do “L” das isoquantas Leontief.
Elasticidade de substituição (intuição simples):
  • Para Cobb–Douglas a elasticidade de substituição é constante e igual a 1. Isso quer dizer que uma variação percentual na \text{MRTS} implica uma variação percentual de mesma ordem (em módulo) na razão K/L: há uma substituição razoavelmente flexível entre insumos.
  • Para Leontief ( q=\min\{K,L\}) a elasticidade de substituição é 0: não há como ajustar a proporção K/L sem perder produção, salvo movendo-se exatamente ao longo dos ramos do “L” (o que não altera a produção).

Passo 5

Exemplos numéricos para fixar a ideia (comparando as duas tecnologias).
Tomemos q=10.
  • Leontief ( q=\min\{K,L\}). Para obter q=10 é preciso ter, no mínimo, 10 de cada fator e pelo menos um igual a 10. Exemplos válidos: (K,L)=(10,10), (10,50), (50,10). O par (20,5) não serve: \min\{20,5\}=5.
  • Cobb–Douglas simples: escolha \alpha=\beta=\tfrac12, A=1, então
q=K^{1/2}L^{1/2} \quad\Longrightarrow\quad KL=q^2.
Para q=10 isso dá KL=100. Assim (K,L)=(20,5) é perfeitamente aceitável porque 20\cdot5=100. Ou seja: reduzir L pode ser compensado aumentando K. Há flexibilidade.
Esses exemplos mostram concretamente a diferença: na Cobb–Douglas há substituição contínua; na tecnologia q=\min\{K,L\} só se atinge q mantendo a proporção 1:1 (ou sem desperdiçar).

Passo 6

Resumo curto e motivador (pra hora da prova).
  • (a) A isoquanta q=10 é um “L” com vértice em (10,10): união das semi‑retas \{(K\ge10,\,L=10)\} e \{(K=10,\,L\ge10)\}.
  • (b) Não há substituição porque fatores são perfeitos complementos: produtividade marginal de um fator é zero quando o outro é escasso (MRTS é 0, \infty ou indefinida), logo não é possível trocar um por outro mantendo q.
  • (c) Cobb–Douglas tem isoquantas suaves e convexas, \text{MRTS}=(\alpha/\beta)(L/K) finita e variável, e elasticidade de substituição igual a 1: é muito mais flexível — reduz‑se um fator e compensa‑se o outro continuamente, ao contrário do caso Leontief.
Vai dar certo! Se quiser, eu desenho (em ASCII) o “L” ou calculo \text{MRTS} para um caso numérico de Cobb–Douglas passo a passo.

Resposta

(a) A isoquanta q=10 é o conjunto
\{(K,L)\mid K\ge10,\\ L=10\}\\ \cup\\ \{(K,L)\mid K=10,\\ L\ge10\},
isto é, um “L” ortogonal com vértice em (10,10).
(b) Não existe substituição porque a tecnologia usa fatores em proporção fixa: aumentar um fator sem aumentar o outro não eleva q. As derivadas mostram isso ( \partial q/\partial K=1,\\ \partial q/\partial L=0 se K<L; e vice‑versa se K>L), logo a \text{MRTS} é 0, \infty ou indefinida — não há troca contínua entre K e L.
(c) Em contraste, uma tecnologia Cobb–Douglas q=A K^{\alpha}L^{\beta} tem \text{MRTS}=(\alpha/\beta)(L/K), isoquantas suaves e convexas e elasticidade de substituição constante e igual a 1: permite substituição contínua entre fatores e é muito mais flexível que a tecnologia q=\min\{K,L\}.

Exercícios relacionados