Uma fábrica de lâmpadas deseja estimar a vida útil média de um novo lote de produção. Para isso, foi retirada uma amostra aleatória de 100 lâmpadas (\mathrm{n}=100) e a vida útil média observada (média amostral) foi de 2.500 horas. Sabe-se, por testes anteriores, que o desvio padrão populacional é de 300 horas. Com base nesses dados:
a. Qual é a estimativa pontual para a vida útil média de todas as lâmpadas do lote.
b. Construa um intervalo de confiança de 95 \%, e interprete o resultado.

Passo 1

O enunciado faz duas perguntas claras:
a. Qual é a estimativa pontual para a vida útil média de todas as lâmpadas do lote?
b. Construa um intervalo de confiança de 95\% e interprete o resultado.
Informações fornecidas (dados do problema):
\bar{x}=2500 horas (média amostral), n=100 (tamanho da amostra), \sigma=300 horas (desvio padrão populacional conhecido), nível de confiança 95\%.

Passo 2

Escolha do método e fórmula usada.
Como o desvio padrão populacional \sigma é conhecido e a amostra é grande ( n=100), usamos o intervalo de confiança para a média com distribuição normal (z). A fórmula geral do intervalo de confiança de nível 1-\alpha é:
\bar{x} \pm z_{\alpha/2}\,\frac{\sigma}{\sqrt{n}}
Explicando cada símbolo:
  • \bar{x} é a média amostral (estimativa pontual da média populacional).
  • z_{\alpha/2} é o quantil da distribuição normal padrão tal que a área à direita é \alpha/2. Para 95\% de confiança, \alpha=0{,}05.
  • \sigma é o desvio padrão populacional (conhecido aqui).
  • n é o tamanho da amostra.
  • \frac{\sigma}{\sqrt{n}} é o erro padrão da média (standard error).

Passo 3

Calcular o erro padrão da média (ou standard error). A fórmula é:
\text{SE}=\frac{\sigma}{\sqrt{n}}
Substituindo os valores:
\text{SE}=\frac{300}{\sqrt{100}}.
Calcule \sqrt{100}=10, logo
\text{SE}=\frac{300}{10}=30.
Portanto o erro padrão é \text{SE}=30 horas.

Passo 4

Determinar o valor crítico z_{\alpha/2} para 95\% de confiança.
Para nível de confiança 95\%, \alpha=0{,}05 e \alpha/2=0{,}025. O quantil da normal padrão com área 0{,}975 à esquerda é aproximadamente 1{,}96. Assim:
z_{\alpha/2}=z_{0{,}025}\approx 1{,}96.
(Segundo tabelas da Normal padrão ou calculadora/softwares, o valor é 1{,}9599\ldots, arredondamos para 1{,}96.)

Passo 5

Calcular a margem de erro (ME). A fórmula:
\text{ME}=z_{\alpha/2}\cdot \text{SE}.
Substituindo:
\text{ME}=1{,}96 \times 30 = 58{,}8.
Portanto a margem de erro é \text{ME}=58{,}8 horas.

Passo 6

Calcular os limites do intervalo de confiança. Usando \bar{x}=2500:
\text{limite inferior}=\bar{x}-\text{ME}=2500-58{,}8=2441{,}2,
\text{limite superior}=\bar{x}+\text{ME}=2500+58{,}8=2558{,}8.
Logo o intervalo de confiança de 95\% é
[2441{,}2,\;2558{,}8]\\ \text{horas}.

Passo 7

Interpretação e observações práticas (como você deve escrever numa prova):
  • Interpretação correta (frequentista): “Se repetíssemos muitas vezes o processo de coletar amostras de tamanho n=100 e construíssemos um intervalo de confiança de 95\% para cada amostra, aproximadamente 95\% desses intervalos conteriam a verdadeira média populacional \mu.”
  • Em linguagem mais direta aplicada ao problema: “Estamos 95\% confiantes de que a verdadeira vida média das lâmpadas do lote está entre 2441{,}2 e 2558{,}8 horas.”
  • Pressupostos necessários para essa conclusão: amostra aleatória representativa; \sigma conhecido (ou amostra grande, de modo que o uso da normal é justificado pelo TCL); sem outliers extremos que invalidem a aproximação.
  • Dica prática para prova: cite a fórmula usada, mostre os cálculos do erro padrão, do z crítico e da margem de erro, e escreva o intervalo final com unidades (horas). Você fez exatamente isso acima — tá bom!

Resposta

a. Estimativa pontual: 2500 horas.
b. Intervalo de confiança de 95\%: [2441{,}2,\;2558{,}8] horas.

Exercícios relacionados