Uma fábrica de lâmpadas deseja estimar a vida útil média de um novo lote de produção. Para isso, foi retirada uma amostra aleatória de 100 lâmpadas
e a vida útil média observada (média amostral) foi de 2.500 horas. Sabe-se, por testes anteriores, que o desvio padrão populacional é de 300 horas. Com base nesses dados:
a. Qual é a estimativa pontual para a vida útil média de todas as lâmpadas do lote.
b. Construa um intervalo de confiança de
, e interprete o resultado.
a. Qual é a estimativa pontual para a vida útil média de todas as lâmpadas do lote.
b. Construa um intervalo de confiança de
Passo 1
O enunciado faz duas perguntas claras:
a. Qual é a estimativa pontual para a vida útil média de todas as lâmpadas do lote?
b. Construa um intervalo de confiança de e interprete o resultado.
a. Qual é a estimativa pontual para a vida útil média de todas as lâmpadas do lote?
b. Construa um intervalo de confiança de
Informações fornecidas (dados do problema):
horas (média amostral),
(tamanho da amostra),
horas (desvio padrão populacional conhecido), nível de confiança
.
Passo 2
Escolha do método e fórmula usada.
Como o desvio padrão populacional é conhecido e a amostra é grande (
), usamos o intervalo de confiança para a média com distribuição normal (z). A fórmula geral do intervalo de confiança de nível
é:
Como o desvio padrão populacional
Explicando cada símbolo:
-
é a média amostral (estimativa pontual da média populacional). -
é o quantil da distribuição normal padrão tal que a área à direita é . Para de confiança, . -
é o desvio padrão populacional (conhecido aqui). -
é o tamanho da amostra. -
é o erro padrão da média (standard error).
Passo 3
Calcular o erro padrão da média (ou standard error). A fórmula é:
Substituindo os valores:
Calcule
, logo
Portanto o erro padrão é
horas.
Passo 4
Determinar o valor crítico
para
de confiança.
Para nível de confiança ,
e
. O quantil da normal padrão com área
à esquerda é aproximadamente
. Assim:
Para nível de confiança
(Segundo tabelas da Normal padrão ou calculadora/softwares, o valor é
, arredondamos para
.)
Passo 5
Calcular a margem de erro (ME). A fórmula:
Substituindo:
Portanto a margem de erro é
horas.
Passo 6
Calcular os limites do intervalo de confiança. Usando
:
Logo o intervalo de confiança de
é
Passo 7
Interpretação e observações práticas (como você deve escrever numa prova):
- Interpretação correta (frequentista): “Se repetíssemos muitas vezes o processo de coletar amostras de tamanho
e construíssemos um intervalo de confiança de para cada amostra, aproximadamente desses intervalos conteriam a verdadeira média populacional .” - Em linguagem mais direta aplicada ao problema: “Estamos
confiantes de que a verdadeira vida média das lâmpadas do lote está entre e horas.” - Pressupostos necessários para essa conclusão: amostra aleatória representativa;
conhecido (ou amostra grande, de modo que o uso da normal é justificado pelo TCL); sem outliers extremos que invalidem a aproximação. - Dica prática para prova: cite a fórmula usada, mostre os cálculos do erro padrão, do
crítico e da margem de erro, e escreva o intervalo final com unidades (horas). Você fez exatamente isso acima — tá bom!
Resposta
a. Estimativa pontual:
horas.
b. Intervalo de confiança de :
horas.
b. Intervalo de confiança de