Em uma fábrica ocorrem em média 6 acidentes/mês, qual é a probabilidade de que em um determinado mês, ocorra mais de 2 acidentes e pelo menos 4 acidentes?
Passo 1
O enunciado diz que, numa fábrica, ocorrem em média
, acidentes por mês. Pede duas probabilidades para um mês qualquer:
- A probabilidade de que ocorra mais de
, acidentes. - A probabilidade de que ocorra pelo menos
, acidentes.
Informações relevantes dadas: a média de acidentes por mês é. Não há outras restrições no enunciado.
Passo 2
Por que modelo usamos? Quando contamos o número de ocorrências (acidentes) em um intervalo de tempo fixo sabendo apenas a média e assumindo que os acidentes são raros e independentes, o modelo natural é a distribuição de Poisson. Vou usar esse modelo aqui (é o mais comum para acidentes por mês). A variável aleatória que conta acidentes chamo de
e assumo
com
.
Passo 3
Fórmula da Poisson e o que cada símbolo significa. A probabilidade de ocorrer exatamente
acidentes é dada por
Explicando:
é a média (aqui
),
é o fatorial de
(por exemplo
,
,
,
), e
vem da constante exponencial. Vamos usar essa fórmula para
quando preciso.
Passo 4
Calcular as probabilidades individuais necessárias para a primeira questão (“mais de
acidentes”). Primeiro calculo
,
e
porque
Agora uso a fórmula da Poisson com
.
Passo 5
Cálculo de
,
e
:
Agora uso a aproximação numérica
e multiplico:
Passo 6
Somar as probabilidades até
e usar o complementar:
Portanto
Interpretação rápida: muita chance (≈93,8%) de ter mais de 2 acidentes quando a média é 6.
Passo 7
Agora a segunda pergunta: “pelo menos
acidentes”, ou seja
. Uso novamente complemento:
Já tenho
; preciso de
para obter
.
Passo 8
Calcular
com a fórmula da Poisson:
Numericamente,
Somando a quantidade até
:
Então