Em uma fábrica ocorrem em média 6 acidentes/mês, qual é a probabilidade de que em um determinado mês, ocorra mais de 2 acidentes e pelo menos 4 acidentes?

Passo 1

O enunciado diz que, numa fábrica, ocorrem em média \,6, acidentes por mês. Pede duas probabilidades para um mês qualquer:
  1. A probabilidade de que ocorra mais de \,2, acidentes.
  2. A probabilidade de que ocorra pelo menos \,4, acidentes.
    Informações relevantes dadas: a média de acidentes por mês é \lambda=6. Não há outras restrições no enunciado.

Passo 2

Por que modelo usamos? Quando contamos o número de ocorrências (acidentes) em um intervalo de tempo fixo sabendo apenas a média e assumindo que os acidentes são raros e independentes, o modelo natural é a distribuição de Poisson. Vou usar esse modelo aqui (é o mais comum para acidentes por mês). A variável aleatória que conta acidentes chamo de X e assumo
X \sim \text{Poisson}(\lambda)
com \lambda=6.

Passo 3

Fórmula da Poisson e o que cada símbolo significa. A probabilidade de ocorrer exatamente k acidentes é dada por
P(X=k)=e^{-\lambda}\frac{\lambda^{k}}{k!}.
Explicando: \lambda é a média (aqui \lambda=6), k! é o fatorial de k (por exemplo 0!=1, 1!=1, 2!=2, 3!=6), e e^{-\lambda} vem da constante exponencial. Vamos usar essa fórmula para k=0,1,2,3 quando preciso.

Passo 4

Calcular as probabilidades individuais necessárias para a primeira questão (“mais de \,2 acidentes”). Primeiro calculo P(X=0), P(X=1) e P(X=2) porque
P(X>2)=1-P(X\le 2)=1-\big(P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)\big).
Agora uso a fórmula da Poisson com \lambda=6.

Passo 5

Cálculo de P(X=0), P(X=1) e P(X=2):
P(X=0)=e^{-6}\frac{6^{0}}{0!}=e^{-6}.
P(X=1)=e^{-6}\frac{6^{1}}{1!}=e^{-6}\cdot 6.
P(X=2)=e^{-6}\frac{6^{2}}{2!}=e^{-6}\cdot\frac{36}{2}=e^{-6}\cdot 18.
Agora uso a aproximação numérica e^{-6}\approx 0,0024787521766663585 e multiplico:
P(X=0)\approx 0,0024787521766663585,
P(X=1)\approx 0,014872513059998151,
P(X=2)\approx 0,044617539179994453.

Passo 6

Somar as probabilidades até 2 e usar o complementar:
P(X\le 2)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)\approx 0,0024787521766663585+0,014872513059998151+0,044617539179994453
\phantom{P(X\le 2)}\approx 0,06196880441665896.
Portanto
P(X>2)=1-P(X\le 2)\approx 1-0,06196880441665896\approx 0,938031195583341.
Interpretação rápida: muita chance (≈93,8%) de ter mais de 2 acidentes quando a média é 6.

Passo 7

Agora a segunda pergunta: “pelo menos \,4 acidentes”, ou seja P(X\ge 4). Uso novamente complemento:
P(X\ge 4)=1-P(X\le 3).
Já tenho P(X\le 2); preciso de P(X=3) para obter P(X\le 3).

Passo 8

Calcular P(X=3) com a fórmula da Poisson:
P(X=3)=e^{-6}\frac{6^{3}}{3!}=e^{-6}\cdot\frac{216}{6}=e^{-6}\cdot 36.
Numericamente,
P(X=3)\approx 0,0024787521766663585\cdot 36\approx 0,089235078359987.
Somando a quantidade até 3:
P(X\le 3)=P(X\le 2)+P(X=3)\approx 0,06196880441665896+0,089235078359987\approx 0,15120388277664695.
Então
P(X\ge 4)=1-P(X\le 3)\approx 1-0,15120388277664695\approx 0,8487961172233531.

Resposta

P(\text{mais de }2\\ \text{acidentes})\approx 0,9380311956
P(\text{pelo menos }4\\ \text{acidentes})\approx 0,8487961172

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